已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(1)=1 f(-1)=0 且对任意实数x都有f(x)

Question

都有f(x)≥x (1)证明a＞0 c＞0 （2）设g（x）=f（x）-mx （m∈r） 求M的取值使得g(x)在【0,1】上单调 那个可以的话 解答规范一点

Answer 1

第（1）小题
f(1)=a+b+c=1
f(-1)=a-b+c=0
两式相减得b=1/2，故有a+c=1/2
f(x)=ax^2+(1/2)x+(1/2
-a)
任意实数x都有f(x)≥x
即ax^2-(1/2)x+(1/2
-a)≥0恒成立
开口向上，与x轴最多一个交点
则有a>0
，Δ=(1/4)-4a(1/2
-a)≤0
即a>0，(4a-1)^2≤0
所以a=1/4
c=1/4
显然a>0，c>0
第(2)小题
f(x)=(1/4)x^2+(1/2)x+1/4
g(x)=(1/4)x^2+(1/2-m)x+1/4
对称轴为x=2m-1
【0,1】上单调可知
2m-1≤0或2m-1≥1
即m≤1/2或m≥1