第1个回答 2013-06-19
线性代数教学中线性相关性的一种解释和理解
[摘要]线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点,特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以
及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论,对学生来说是很难理解的,在教学中,我们把线性相关解释为“多余”,线性无关
解释为“没有多余”,在教学上可收到较好的效果。
[关键词]线性相关线性无关多余没有多余
线性相关性在线性代数课程中是一个重要内容,对学生来说是非
常困难的内容,许多学生学完线性代数后还没有弄懂,有的学生学到这
一内容时觉得很难学,就丧失信心。认为整个线性代数都很难学,甚至
放弃学习。线性相关性是线性代数课程中教学的难点,它与后面线性方
程组的解的理论有密切的联系,对于这一难点的处理是非常重要的。根
据不同层次的学生采用不同的教学要求。使得学生正确的理解线性相
关性的定义,定理。
大多数经济类的本科线性代数课程的教材在叙述向量组的极大无
关组和向量组的秩的理论时,由于这一章节的理论性比较强,一般都是
从定理到定理,从证明到证明,例子较少。在教学中,在讲完线性相关的定
义和有关定理后,在介绍向量的极大无关组之前,用”多余”来解释线性
相关性,可使后面的问题简单化,直观化。我们以龚德恩等主编的《经济
数学基础》的第二分册线性代数的教材为例进行说明。
首先来看线性组合的概念。对于向量组α1,α2,…,αs和向量β,如果
存在s个数k1,k2,…,ks使得
β=k1α1+k2α2+…+ksαs
则称向量β是向量组α1,α2,…,αs的线性组合。换句话说向量β相
对于向量组α1,α2,…,αs是“多余”的向量。
关于线性相关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果存在不全为零的数
k1,k2,…,ks使得
k1α1+k2α2+…+ksαs=0
称向量组α1,α2,…,αs线性相关。因k1,k2,…,ks不全为零,不妨假设
α1≠0则α1=-k
2
k1α
2-…-k
s
k1α
s。因此向量组α1,α2,…,αs线性相关,看成是
向量组α1,α2,…,αs中至少有一个“多余”的向量。
关于线性无关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果仅当k1,k2,…,ks都
等于零时,才能使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立。称向量组α1,α2,…,αs线
性无关。由于α1,α2,…,αs线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余
向量线性表示,因此向量组α1,α2,…,αs线性无关看成是α1,α2,…,αs中
“没有多余”的向量。
一些结论也可作相应的理解和解释。如:
“如果一个向量组中的部分组线性相关,则整个向量组也线性相
关”,解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也
有多余的向量。
“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”,
解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后
也没有多余的向量。
下面两个定理是学生们在学习向量组的线性相关性的过程中感到
最难理解和掌握的。
定理1设向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs可由向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βt线性表
示,且s>t,则α1,α2,…,αs线性相关。
在课堂教学中我们是作如下解释的,向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs称为
“被表示向量组”,向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βt称为“表示向量组”。条件s>t,
看成是有”多余”的向量。即“被表示向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs相对于表示
向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βt有多余的向量,则α1,α2,…,αs线性相关,这样解释
便于学生理解和记忆。
推论1如果一个向量组α1,α2,…,αs线性无关,并且可由向量组β1,
β2,…,βt线性表示。则s≤t。
推论1可解释为:如果“被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关,则被表
示的向量组α1,α2,…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt没有多余的向量,
即s≤t。
推论2两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。
两个向量组都线性无关,且彼此可相互线性表示,两个向量组彼此
相对于另一个向量组都没有多余的向量,得两个向量组所含的向量的
个数相同。
下面再举一些例子进行说明。
例1设向量组α1,α2,…,αs线性无关,且可由向量组β1,β2,…,βt线性
表示,则必有()。