地中稳定电流场的基本规律

Question

如题所述

Answer 1

1.1.2.1 稳定电流场的性质

(1)稳定电流场中的欧姆定律

在稳定电流场中的任意点上，电流密度矢量j与电场强度E在数量上成正比，比例系数为该点处岩石的电阻率ρ，即

电法勘探

这便是稳定电流场中欧姆定律的微分形式，无论介质均匀与否，这个公式都适用。因为在介质不均匀的情况下，我们总能选取一个足够小的体积元，并将其电阻率看作不变。在各向同性介质中，ρ为标量。

(2)稳定电流场中电流的连续性

对于稳定电流场，包含电流为I的电流源的任意闭合面的通量表达式为

电法勘探

式中：S为包围电流源的闭合曲面；n为面元的单位法向矢量。

如果S中不包含电流源，上式变为

电法勘探

式(1.1.10)为电流连续性的积分表达式。即除去场源点外，流入流出任一闭合面的电流的代数和为零。它说明在稳定电流场中电流是连续的，其微分形式为

divj=0

上式表明，电流密度矢量j沿空间直角坐标系的三个方向的变化率的总和为零。即在稳定电流场中，不含电源的任一点处不会有正或负电荷的堆积。或者说，电流线总是连续的，不会在场中无源处消失，也不会无源而生。

哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符▽表示下述矢量形式的微分算子

电法勘探

j的散度可表示为算子▽与矢量j的标量积，即

电法勘探

(3)稳定电流场的位场性质

就像物体在重力场中具有位能一样，电荷在稳定电场中也具有电位能，从而引入电位函数U。在稳定电场中任一点M处的电位U，等于将单位正电荷从M点移到无限远处电场力所做的功

电法勘探

故电场强度与电位有关系

E=-gradU (1.1.13)

位场是一种无旋场，即保守场。根据能量守恒定律，在地中由导电岩石组成的任一闭合回路中，电流场所做的功恒等于零，即

电法勘探

根据斯托克斯定理，式(1.1.14)的微分形式为

rotE=0

E的旋度可表示为算子▽与矢量E的叉积，即

▽×E=0

1.1.2.2 稳定电流场的微分方程及边界条件

由于稳定电流场是位场，它可以表示为标量位的梯度，即 E=-▽U。又根据式(1.1.11)，可得

电法勘探

在电阻率均匀的介质中，ρ为常数，上式变为

▽²U=0 (1.1.15)

式(1.1.15)称为拉普拉斯方程，▽²=▽·▽称为拉普拉斯算符，它在笛卡尔坐标系中表示为

电法勘探

在理论研究中，根据问题的需要，常将拉普拉斯方程转换成为不同坐标系中的表达式，最常用的有

1)在直角坐标系(x，y，z)中

电法勘探

2)在圆柱坐标系(r，φ，z)中

电法勘探

3)在球坐标系(r，θ，φ)中

电法勘探

稳定电流场的边界条件列于表1.1.5中。

表1.1.5 稳定电流场的边界条件

表1.1.5中的第一类边界条件好理解，现简要解释稳定电流场为什么满足第二类边界条件和衔接边界条件。

因为dU=-E·dl，且E值总是有限的(偶极层内部例外)，不论E是否突变，当dl→0时，dU→0，所以U₁=U₂。这表明稳定电场的电位具有连续性(越过偶极层例外)。

电流密度在地下电性分界面上的变化可参见图1.1.6。利用电磁场论知识可以证明电流密度法向分量和电场强度的切向分量是连续的。实际上，就如串联电阻中的电流一样，垂直界面的电流一定要全部通过界面。若j_1n≠j_2n，则界面上将不断积累电荷，电流场就不可能保持恒定了，固有j_1n=j_2n或

=

。电流密度的切向分量的分配与电阻并联情况相同：电阻小的分路电流大，电阻大的分路电流小。电流与电阻成反比关系，固有

=

，或j_1tρ₁=j_2tρ₂(图1.1.6)。

图1.1.6 分界面上电流密度折向图及电流密度分解示意图

下面来看两个极端情况：

1)当ρ₂→∞，则j_2n=0，于是j_1n=

=0，这就是地面边界条件；

2)根据稳定电流场的折射定律，有关系式

=

，当ρ₂→0时，θ≈0，即良导体外面电流密度及电场强度垂直于良导体表面。这一结论很重要，据此在稳定电流场中良导体(例如金属电极或良导金属矿体等)的表面可视为等位面。