设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a大于b大于c)过点(0,4),离心率为3/5 1:求C的方程 2 求过点（3，0）且斜率为4/5

Question

的直线被C所截线段的中点坐标

Answer 1

(1)由于椭圆过点(0,4),从而 b=4，又e=c/a=3/5，得c=(3/5)a
所以 a²=b²+c²=16+(9/25)a²ï¼Œa²=25，a=5
所以 椭圆的方程为x²/25+y²/16=1
(2) 用点差法。
设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点为M(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，且
16x1²+25y1²=144 (1)
16x2²+25y2²=144 (2)
(2)-(1)，得 16(x2-x1)(x1+x2)+25(y2-y1)(y1+y2)=0
所以 AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=-16(x1+x2)/[25(y1+y2)]=-16x0/(25y0)=4/5
即 -4x0=5y0 (3)
又点（3，0）和M也在直线AB上，从而k=y0/(x0-3)=4/5
即 4x0-12=5y0 (4)
由（3）（4），解得x0=3/2，y0=-6/5
中点坐标为(3/2，-6/5)

Answer 2

解（Ⅰ）将（0，4）代入椭圆C的方程得b=4,又 e=c/a=3/5
∴ a²=b²+c²=16+(9/25)a² ∴a=5
椭圆的方程为x²/25+y²/16=1
（ Ⅱ）过点（3，0）且斜率为4/5的直线方程为y=4/5(x-3），
设直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点为M(x0,y0)，
将直线方程与椭圆方程联解，得x^2-3x-8=0
∴x1+x2=3(韦达）∴x0=(x1+x2)/2=3/2
∴ yi+y2=4/5(x1-3)+4/5(x2-3)=4/5(x1+x2-6)=-12/5 ∴y0=(y1+y2)/2=-6/5
即中点为(3/2，-6/5)