证明如下:
设X为随机变量,X1,X2,...Xi,...,Xn为其n个样本,DX为方差;
根据方差的性质,有D(X+Y)=DX+DY,以及D(kX)=k^2*DX,其中X和Y相互独立,k为常数;
样本均值为ΣXi/n,则样本均值的方差为D(ΣXi/n);
于是:
D(ΣXi/n)=D(1/nΣXi)=1/(n^2)D(ΣXi)
=1/(n^2)·n·D(X)=D(X)/n)
=1/nD(X)
因此,样本均值的方差为1/nD(X),此为样本均值的性质之一。
扩展资料:
样本均值的性质:
1、X1,X2,...,Xn是取自总体的样本,则E(Xi)=u,D(Xi)=σ^2,E(Xi)=u,D(Xi)=σ^2;E(X¯)=u,D(X¯)=σ^2/n。
2、样本均值的抽样分布在形状上却是对称的。随着样本量n的增大,不论原来的总体是否服从正态分布,样本均值的抽样分布都将趋于正态分布,其分布的数学期望为总体均值μ,方差为总体方差的1/n。
3、设总体共有N个元素,从中随机抽取一个容量为n的样本,在重置抽样时,共有N·n 种抽法,即可以组成N·n不同的样本,在不重复抽样时,共有N·n个可能的样本。