由于所给函数是
奇函数,所以不妨设x是
定义域内x>0的任一点。
又当︱Δx︱<x/2时, x+Δx>x/2
于是,Δy=sin(1/(x+Δx)-sin(1/x)=2cos[(2x+Δx)/(2x(x+Δx))]sin[-Δx/(2x(x+Δx))]
︱Δy︱=︱sin(1/(x+Δx)-sin(1/x)︱=︱2cos[(2x+Δx)/(2x(x+Δx))]sin[-Δx/(2x(x+Δx))]︱
≤︱Δx︱/︱x(x+Δx)︱<2︱Δx︱/x^2
故对任给的ε>0,取δ=min{x/2,(x^2)ε/2},
则当︱Δx︱<δ时就有︱Δy︱<ε成立。
故这就证明了y=sin(1/x)在定义域内是连续的。