过抛物线y的平方=4x 的焦点的两条互相垂直的弦AB、CD.过两弦的中点M、N的直线恒过哪一点？

Question

如题所述

Answer 1

抛物线y²=4x的焦点为F(1,0).
设过F的弦AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),
与抛物线y²=4x联立消去x得：k²x²-(2k²+4)x+k²=0,
X1+x2=(2k²+4)/ k²=2+4/ k².
所以中点M的横坐标为1+2/ k²，代入直线AB的方程y=k(x-1)可得
中点M的纵坐标为2/ k.∴M(1+2/ k²，2/ k).
将点M的坐标中的k换为-1/k即可得与弦AB垂直的弦CD的中点N的坐标：
N(1+2k²，-2k).
直线MN的斜率为(2/ k+2k)/[( 1+2/ k²)-(1+2k²)]=k/(1-k²).
所以直线MN的方程为y+2k= k/(1-k²)•[x-(1+2k²)].
化简得y= k/(1-k²) •x- 3k/(1-k²)
y= k/(1-k²) •(x- 3)
∴直线MN过定点(3,0).