高三质监数学压轴题已知函数f(x)=lnx/x的图象为曲线c

Question

已知函数f(x)=lnx/x的图象为曲线c,函数g(x)=（1/2）ax+b的图象为直线L(1)：当a=2,b=-3,求F(x)=f(x)-g(x)的最大值（2）：设直线L与曲线c的交点的横坐标分别为x1,x2,且x1不等于x2 求证：（x1+x2）g（x1+x2）>2 第一问不必解答，只回答第二问，题目绝对没问题，详解者再送50分

Answer 1

不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证(x1+x 2)[1/2 a(x1+x2)+b]＞2，
1/2 a(x1+x2)+b＞2/( x1+x2 ) ⇒1/2 a(x2^2 -x1^2)+b(x2-x1)＞2( x2-x1)/( x1+x2) ，
1/2 ax2^2+bx2-(1/2 ax1^2 +bx1)＞2(x2-x1)/ ( x1+x2) ，∵lnx1/ x1 =1/ 2 ax1+b，
lnx2 / x2 =1/2ax2+b，∴lnx2-lnx1＞2(x2-x1)/( x2+x1) ，即 ln(x2 / x1) ＞2(x2-x1)/( x2+x1) ，∴只需证(x2+x1)ln(x2/x1)＞2(x2-x1)，令H(x)=(x+x1)ln(x / x1) -2(x-x1)，x∈（x1，+∞）．
只需证H(x2)＞0=H(x1)，即H(x)在x∈（x1，+∞）单调递增。
∵H′(x)=ln(x/x1)+x1/ x -1，令 G(x)=ln(x/x1)+x1/ x -1，
则 G′(x)=(x-x1)/x^2 ＞0，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．G（x）＞G（x1）=0，
∴H′（x）＞0，∴H（x）在（x1，+∞）单调递增．∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2．

Answer 2

构建函数y=1/x,用积分的原理来解

本回答被提问者采纳

Answer 3

(2)x1,x2满足方程lnx/x=（1/2）ax+b，即0.5ax^2+bx-lnx=0 ,由于定义域，有x>0
令h(x)=0.5ax^2+bx-lnx(x>0） 故h(x1),h(x2)=0
易知：（x1+x2）g（x1+x2）=0.5a(x1+x2)^2+b(x1+x2) =lnx1+lnx2+ax1x2=lnx1x2+ax1x2
记m(x)=lnx+ax,若a>0,则m'(x)=a+1/x>0, 若a<0，m(x)在x=-1/a取最小值,分别考虑x1x2的取值即可证出追问

你说，若a>0,则m'(x)=a+1/x>0, 那试问x1x2范围是多少？又将如何卡？
若a-e^(1/3)，还是未得到目标，请继续

Answer 4

要是上高中的时候肯定没有问题现在都忘得差不多了，这样的问题基本都是要缩小式，你最好是先画图看看有几种情况在排除一下，还有多找一些类似的问题看看，这样的活你就会很容易的解答，其实授人以鱼不如授人以渔，你应该多做这些的问题，多思考其方式，不应该为做题而做题，不要知其然而不知其所以然， 说的有点废话但是你要是按我说的你再碰见这样的问题就会很容易的解决，不好意思没有给你解决。

Answer 5

已知函数f（x）=
lnx
x
的图象为曲线c，函数g（x）=
1
2
ax+b的
图象为直线l．
（1）当a=2，b=-3时，求f（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线c的交点的横坐标分别为x
1
，x
2
，且
x
1
≠x
2
，求证：（x
1
+x
2
）g（x
1
+x
2
）＞2．