一道几何题

Question

如图6-6-17,AB是⊙O直径,弦CD⊥AB于E,F是CD延长线上的一点,AF交⊙O于G.
求证:AC×DG=AG×DF
图见http://hi.baidu.com/rachel1588/album 图6-6-17

Answer 1

连结BD。
因为AB为直径（已知）
所以角ACB=90度。（直径所对圆周角为90度）
所以角CAE+角EBC=90度（直角三角形两锐角互余）
因为AB垂直于CD（已知）
所以角AEC=角BEC=90度（垂直定义）
所以角ACE+角CAE=90度，角ECB+角EBC=90度（直角三角形两锐角互余）
所以角EBC=角ACE（同角余角相等）
因为弧AC=弧AC（公共弧）
所以角AGC=角EBC（同弧所对圆周角相等）
因为角FGD是圆内接四边形ACDG的一个外角（已知）
所以角FGD=角ACE（圆内接四边形外角等于其内对角）
同理角FDG=角FAC
所以角FGD=角AGC(等量代换)
所以三角形FDG相似于三角形CAG（两角对应相等两三角形相似）
所以AC：AG=DF：DG（相似三角形对应边成比例）
即AC×DG=AG×DF