求极限 lim （n→无穷） ((1+1/n)(2+2/n)...(1+n/n))开n次方。答案是4/e，求过程。

Question

如题所述

Answer 1

写错了，中间那个2+2/n应该是1+2/n
设y= lim （n→无穷） ((1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n))开n次方
两边取对数
lny= lim (1/n)ln((1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n))
=lim (1/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+n/n)]
=lim (1/n)Σln(1+i/n) i从1到n
=∫ [0-->1] ln(1+x)dx
=xln(1+x)-∫ [0-->1] x/(1+x)dx
=ln2-∫ [0-->1] [1-1/(1+x)]dx
=ln2-x+ln(1+x) [0--->1]
=2ln2-1
因此原式y=e^(2ln2-1)=4/e