请教一道微积分题

Question

在G内存在u，使得du=Pdx+Qdy，这里前提条件既没有说P，Q一阶偏导数连续，也没有强调G为单连通区域，这样也能说明积分与路径无关吗？

给出理由，让我心服口服。

Answer 1

可以，事实上，“在G内存在u，使得du=Pdx+Qdy”这一条件不需要P，Q一阶偏导数连续以及G为单连通区域这两个大前提，即可说明积分与路径无关。证明见图

Answer 2

当然不能什么条件都没有，比如说至少P和Q需要一定的连续性条件（一般需要分段连续性，至少也需要几乎处处连续），G需要有路径连通性质，而且最好是开区域（防止积分路径中某一段必须落在很不光滑的曲线上），这些很基本的条件一定是需要的，不然也就谈不上曲线积分。

然后只要你有两个很基本的概念就容易理解这类问题了。
1.只要有连续性，光滑性再弱的曲线也可以用无限光滑的曲线序列来一致逼近。
(严格的讲法就是Weierstrass第一逼近定理，即闭区间上的连续函数可以用多项式序列一致逼近，当然更一般的情形需要Stone-Weierstrass定理，不过思想是一致的。)
2.对于积分而言，一致收敛性可以保证积分和极限次序交换，所以通常关于积分的命题中的光滑性条件都比较弱。
只要有这两个基本观念，那么用分段光滑的函数Pn，Qn去一致逼近P和Q就够了。
三楼的做法依赖路径本身的光滑性，也用同样的手段可以移除这个依赖。

Answer 3

du=Pdx+Qdy
说明P＝ъu/ъx Q＝ъu/ъy
ъ是偏导符号
我们知道二次偏导与不同变元的顺序是无关的，也就是说
（ъ^2）u/ъxъy＝（ъ^2）u/ъyъx
也就是ъ（ъu/ъx）/ъy＝ъ（ъu/ъy）/ъx
也就是ъP/ъy＝ъQ/ъx
这是积分与路径无关的一个充分条件，已经满足了，另外一个是单连通区域，但是这个条件不一定要满足啊，因为没有说只有单连通区域上才能有积分与路径无关啊，对于不是单连通的区域，我们可以用一条光滑曲线包住奇点，再证明封闭的线积分等于0就可以了，这个书上走的自己看看
回答完毕求采纳

Answer 4

不好判定。
书上是把问题简化了，如果存在一个单连通区域G，在G内，P、Q连续，偏导函数也连续，那么“存在u，使得du=Pdx+Qdy” 与 “曲线积分∫ Pdx+Qdy与路径无关” 是等价的