函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数
数学定义
f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f（x），x∈D函数定义：函数是预先定义的功能块（由代码组成）。
编辑本段简介
函数是位于数学领域中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。 精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素x与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域Rf（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做应变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则、定义域是函数的两要素。
编辑本段注意事项
“对应法则不变性”指的是当某个函数y=f(x)给定后两个变量间的映射" f ( )" 就随之确定了。即f(2x+1)与f(x)指同一对应法则（但不一定是同一函数）。主要包括: ①域的作用不变性： （定义域可能变了）即在确定的映射f：下 f 括号里的取值范围不变性； 值域不变性。 ②函数表达结构不变性（解析式可能变了） 例1：已知f(x+1)的定义域是[1 , 2],求f(x)的定义域。 方法解读：定义域：指自变量 x的取值范围（受式子意义和实际意义的限制） 对应法则不变性指条件中的函数f ( )和要求的问题中的函数f( )是同一映射； 根据对应法则不变性可得到f ( )中括号的取值范围不变； 解： 因为f(x+1)的x的取值范围[1,2],( )里的取值范围是[2,3] 所以f(x)的( )里的取值范围也应是[2,3] ,也就是f(x)的x的取值范围[1,2],即f(x)的定义域是[1,2], 温故知新： 已知f(x)的定义域是[2 , 3],求f(x+1)的定义域。 解： f(x+1)中的x ∈[1 , 2], x+1∈ [2 , 3] 根据对应法则不变性 f (x) 中的 x ∈ [2 , 3], 即 f (x)的定义域是[2 , 3] 例2：已知函数f(x)的值域是[1,2],求函数f(x-2)的值域。 例3：下列函数一定与f(x)=2x是同一函数的序号是（ ①②③ ） [1]① f(t)=2t ②f(□)=2□ ③f(○)=2○ ④f(x+1)=2(x+1) 方法解读：定义域和解析式分别相同的函数是同一函数 解： ①中的t取值范围、②中□的取值范围、③中○的取值范围 都是全体实数； ④中x的取值范围（仿例1 求法）也是全体实数；①②③的解析式与已知f(x)=2x也相同。但④的解析式与条件中不相同。 例4：函数表达结构与函数解析式分析（如图） 函数表达结构
另外： 对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如。1X1=1（“X1”可以通用于任意一个算术式里一样）
编辑本段与函数有关的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。 由映射定义 设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）
几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
函数的集合论（关系）定义
如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。 当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。 其特点： 前域和定义域重合 单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’
编辑本段定义域、对应域和值域
输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。
编辑本段单射、满射与双射函数
单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x = y时有f（x）= f（y）。单射满射 双射
满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。 双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。
编辑本段像和原象
元素x∈X在f的像就是f（x），他们所取的式值为0。 子集A?X在f的像是以其元素的像组成Y的子集，即f(A) := {f(x) : x ∈A}。 注意f的值域就是定义域X的像f（X）。在我们的例子里，{2,3}在f的像是f({2, 3}) = {c, d}而f的值域是{c, d}。 根据此定义，f可引申成为由X的幂集（由X的子集组成的集）到Y的幂集之函数，亦记作f。 子集B ? Y在f的原像（或逆像）是如下定义X的子集： f ?1(B) := {x ∈X : f(x)∈B}。 在我们的例子里，{a, b}的原像是f?1({a, b}) = {1}。 根据此定义，f?1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。 以下是f及f?1的一些特性： f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2). f(A1 ∩A2) ? f(A1) ∩ f(A2). f ?1(B1 ∪B2) = f ?1(B1) ∪ f ?1(B2). f ?1(B1 ∩B2) = f ?1(B1) ∩ f ?1(B2). f(f ?1(B)) ? B. f ?1(f(A)) ? A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。
编辑本段函数图像
函数f的图像是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。 如果X和Y都是连续的线，则函数的图像有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。 当k<0时，直线为升，过一三象限或向上平移，向下平移象限；当k>0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。
数学定义
f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f（x），x∈D函数定义：函数是预先定义的功能块（由代码组成）。
编辑本段简介
函数是位于数学领域中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。 精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素x与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域Rf（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做应变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则、定义域是函数的两要素。
编辑本段注意事项
“对应法则不变性”指的是当某个函数y=f(x)给定后两个变量间的映射" f ( )" 就随之确定了。即f(2x+1)与f(x)指同一对应法则（但不一定是同一函数）。主要包括: ①域的作用不变性： （定义域可能变了）即在确定的映射f：下 f 括号里的取值范围不变性； 值域不变性。 ②函数表达结构不变性（解析式可能变了） 例1：已知f(x+1)的定义域是[1 , 2],求f(x)的定义域。 方法解读：定义域：指自变量 x的取值范围（受式子意义和实际意义的限制） 对应法则不变性指条件中的函数f ( )和要求的问题中的函数f( )是同一映射； 根据对应法则不变性可得到f ( )中括号的取值范围不变； 解： 因为f(x+1)的x的取值范围[1,2],( )里的取值范围是[2,3] 所以f(x)的( )里的取值范围也应是[2,3] ,也就是f(x)的x的取值范围[1,2],即f(x)的定义域是[1,2], 温故知新： 已知f(x)的定义域是[2 , 3],求f(x+1)的定义域。 解： f(x+1)中的x ∈[1 , 2], x+1∈ [2 , 3] 根据对应法则不变性 f (x) 中的 x ∈ [2 , 3], 即 f (x)的定义域是[2 , 3] 例2：已知函数f(x)的值域是[1,2],求函数f(x-2)的值域。 例3：下列函数一定与f(x)=2x是同一函数的序号是（ ①②③ ） [1]① f(t)=2t ②f(□)=2□ ③f(○)=2○ ④f(x+1)=2(x+1) 方法解读：定义域和解析式分别相同的函数是同一函数 解： ①中的t取值范围、②中□的取值范围、③中○的取值范围 都是全体实数； ④中x的取值范围（仿例1 求法）也是全体实数；①②③的解析式与已知f(x)=2x也相同。但④的解析式与条件中不相同。 例4：函数表达结构与函数解析式分析（如图） 函数表达结构
另外： 对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如。1X1=1（“X1”可以通用于任意一个算术式里一样）
编辑本段与函数有关的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。 由映射定义 设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）
几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
函数的集合论（关系）定义
如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。 当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。 其特点： 前域和定义域重合 单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’
编辑本段定义域、对应域和值域
输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。
编辑本段单射、满射与双射函数
单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x = y时有f（x）= f（y）。单射满射 双射
满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。 双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。
编辑本段像和原象
元素x∈X在f的像就是f（x），他们所取的式值为0。 子集A?X在f的像是以其元素的像组成Y的子集，即f(A) := {f(x) : x ∈A}。 注意f的值域就是定义域X的像f（X）。在我们的例子里，{2,3}在f的像是f({2, 3}) = {c, d}而f的值域是{c, d}。 根据此定义，f可引申成为由X的幂集（由X的子集组成的集）到Y的幂集之函数，亦记作f。 子集B ? Y在f的原像（或逆像）是如下定义X的子集： f ?1(B) := {x ∈X : f(x)∈B}。 在我们的例子里，{a, b}的原像是f?1({a, b}) = {1}。 根据此定义，f?1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。 以下是f及f?1的一些特性： f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2). f(A1 ∩A2) ? f(A1) ∩ f(A2). f ?1(B1 ∪B2) = f ?1(B1) ∪ f ?1(B2). f ?1(B1 ∩B2) = f ?1(B1) ∩ f ?1(B2). f(f ?1(B)) ? B. f ?1(f(A)) ? A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。
编辑本段函数图像
函数f的图像是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。 如果X和Y都是连续的线，则函数的图像有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。 当k<0时，直线为升，过一三象限或向上平移，向下平移象限；当k>0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。
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第1个回答 2019-04-26
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第2个回答 2020-01-07
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