对称阵都可以表示成另一个矩阵和其转置的乘积吗，比如任意对称阵C，可以找到一个矩阵A，使得C=A'A吗

Question

如何证明可以或不可以呢

Answer 1

任何一个半正定矩阵A，则存在矩阵C使得
A=C'C
任何一个正定矩阵A，则存在可逆矩阵C使得
A=C'C
一般的矩阵不具有此性质。
证明也很简单，以半正定矩阵为例：
A半正定，则岑在可逆矩阵P使得A=P'DP，其中D为对角阵，且主对角线为特征值，显然都是非负的。不妨设其为D=diag(a1,a2,……,an)
则令C=diag(sqrt(a1),sqrt(a2),……,sqrt(an))P，有
A=C'C

注：
在矩阵分析中，上面的也叫做平方根分解