这些高数题的详细解答过程是什么？

Question

如题所述

Answer 1

应用洛必达法则：
　设 　　(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；　(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； 　　(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 　　x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 　　
再设 　　(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； 　　(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； 　　(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 　　x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

第4题分子分母分别求导得-1/[2*（1-x）^1/2]和1/[3*x^(-2/3)]，当x=-8，代入两式，分别得-1/6和1/12 极限值为两式相除（-1/6)/(1/12)=-2

5、[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2-x^1/2=[x+(x+x^1/2)^1/2-x]/{[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2+x^1/2}=(x+x^1/2)^1/2/{[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2+x^1/2}
当x趋于无穷时，分子(x+x^1/2)^1/2等阶于x^1/2,分母[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2+x^1/2等阶于2x^1/2
所以当x趋于无穷时所求极限等阶于x^1/2/(2x^1/2)的极限=1/2

6、应用洛必达法则，分子分母分别求导，分子的导数=2^x*ln2,分母的导数=4^x*ln4
2^x*ln2/(4^x*ln4)=1/2^x*ln2 当x趋于正无穷时分母也趋于正无穷，分数值趋于0，所以所求极限为0

7、应用洛必达法则，分子分母分别求导，分子的导数=mx^(m-1)-nx^(n-1), 分母的导数=mx^(m-1)+nx^(n-1), 当x趋于1时，分子的极限为m-n，分母的极限为m+n，所求极限为（m-n）/(m+n)追问

洛必达法则我们没学过 能不能用别的方法

追答

那这么算：
4、分子=（1-x)^1/2-3=[（1-x)^1/2-3]*[（1-x)^1/2+3]/[（1-x)^1/2+3]=(-x-8)/[（1-x)^1/2+3]
当x趋于-8时，（1-x)^1/2+3趋于6，所以（1-x)^1/2-3与(-x-8)/6等阶
分母=2+x^1/3=[(2+x^1/3)(4-2*x^1/3+x^2/3)]/(4-2*x^1/3+x^2/3)=(8+x)/(4-2*x^1/3+x^2/3)
当x趋于-8时(4-2*x^1/3+x^2/3)趋于12,所以2+x^1/3与(x+8)/12等阶
所求极限为[(-x-8)/6]/[(x+8)/12]=-2

5、[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2-x^1/2=[x+(x+x^1/2)^1/2-x]/{[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2+x^1/2}=(x+x^1/2)^1/2/{[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2+x^1/2}
当x趋于无穷时，分子(x+x^1/2)^1/2等阶于x^1/2,分母[x+(x+x^1/2)^1/2]^1/2+x^1/2等阶于2x^1/2
所以当x趋于无穷时所求极限等阶于x^1/2/(2x^1/2)的极限=1/2
6、当x趋于正无穷时分子=2^x+1与2^x等阶
分母=4^x+1与4^x等阶
所求极限为2^x/(4^x)=1/(2^x)当x趋于正无穷时的极限,所以极限为0