共轭变量怎么求导？

Question

如题所述

Answer 1

共轭变量通常出现在物理学和量子力学中，尤其是在处理复数和波动方程时。在数学中，共轭变量的求导遵循与普通实数相同的规则，但是要注意共轭的性质。
设有一个复数函数
𝑓
(
𝑧
)
f(z)，其中
𝑧
=
𝑥
+
𝑖
𝑦
z=x+iy，
𝑥
x和
𝑦
y是实数，
𝑖
i是虚数单位。如果
𝑓
(
𝑧
)
f(z)是可微的，则其共轭函数
𝑓
∗
(
𝑧
)
f
∗
(z)（即
𝑓
(
𝑧
∗
)
f(z
∗
)，其中
𝑧
∗
z
∗
是
𝑧
z的共轭）也是可微的。
对于函数
𝑓
(
𝑧
)
f(z)，其导数定义为：
𝑑
𝑓
𝑑
𝑧
=
lim
⁡
Δ
𝑧
→
0
𝑓
(
𝑧
+
𝐷
𝑒
𝑙
𝑡
𝑎
𝑧
)
−
𝑓
(
𝑧
)
Δ
𝑧
dz
df
​
=
Δz→0
lim
​
Δz
f(z+Deltaz)−f(z)
​
如果我们要求
𝑓
(
𝑧
)
f(z)关于其共轭变量
𝑧
∗
z
∗
的导数，我们可以使用链式法则。设
𝑧
∗
=
𝑥
−
𝑖
𝑦
z
∗
=x−iy，则
𝑓
(
𝑧
∗
)
f(z
∗
)关于
𝑧
∗
z
∗
的导数为：
𝑑
𝑓
∗
𝑑
𝑧
∗
=
𝑑
𝑓
∗
𝑑
𝑧
𝑑
𝑧
𝑑
𝑧
∗
dz
∗
df
∗
​
=
dz
df
∗
​
dz
∗
dz
​
由于
𝑧
z和
𝑧
∗
z
∗
是独立的，我们有：
𝑑
𝑧
𝑑
𝑧
∗
=
0
dz
∗
dz
​
=0
因此，如果
𝑓
(
𝑧
)
f(z)只是
𝑧
z的函数而不是
𝑧
∗
z
∗
的函数，那么
𝑓
(
𝑧
)
f(z)关于
𝑧
∗
z
∗
的导数为零。这是因为
𝑧
z和
𝑧
∗
z
∗
是相互独立的变量，改变
𝑧
∗
z
∗
不会影响
𝑧
z，反之亦然。
然而，如果我们有一个函数
𝑔
(
𝑧
,
𝑧
∗
)
g(z,z
∗
)，它同时依赖于
𝑧
z和
𝑧
∗
z
∗
，那么我们可以使用偏导数来求解。
𝑔
(
𝑧
,
𝑧
∗
)
g(z,z
∗
)关于
𝑧
∗
z
∗
的偏导数表示为：
∂
𝑔
∂
𝑧
∗
=
lim
⁡
Δ
𝑧
∗
𝑡
𝑜
0
𝑔
(
𝑧
,
𝑧
∗
+
Δ
𝑧
∗
)
−
𝑔
(
𝑧
,
𝑧
∗
)
Δ
𝑧
∗
∂z
∗
∂g
​
=
Δz
∗
to0
lim
​
Δz
∗
g(z,z
∗
+Δz
∗
)−g(z,z
∗
)
​
这个偏导数描述了在保持
𝑧
z不变的情况下，
𝑔
(
𝑧
,
𝑧
∗
)
g(z,z
∗
)随
𝑧
∗
z
∗
的变化率。
总结一下，共轭变量的求导取决于函数是否依赖于共轭变量。如果函数只是共轭变量的函数，则其导数为零；如果函数同时依赖于变量和其共轭，则需要使用偏导数来求解。在实际应用中，共轭变量的求导通常涉及到物理量的测量或者量子力学中的波函数，这时候需要具体问题具体分析。
在量子力学中，共轭变量通常指的是位置
𝑞
q和动量
𝑝
p，它们遵循正则对易关系：
[
𝑞
,
𝑝
]
=
𝑖
ℏ
[q,p]=iℏ
其中
ℏ
ℏ是约化普朗克常数。在这种情况下，位置和动量的导数（或者说，它们的泊松括号）可以用来描述系统的动力学演化。例如，一个物理量的时间导数可以通过它与哈密顿量的泊松括号来计算：
𝐴
˙
=
{
𝐴
,
𝐻
}
A
˙
={A,H}
其中
𝐴
A是任意物理量，
𝐻
H是系统的哈密顿量。这种形式的时间导数在经典力学和量子力学中都有应用。