一道求左导数和右导数的问题。

Question

求f(x)=x|cos(PAI/x)| 在各处的左导数和右导数。 [ 主要是x=2/(2k+1) ] 时的讨论。
用定义的办法解决~
谢！

Answer 1

解：
①当π/x=(2k+1/2)π时（k∈Z），x=2/(4k+1)，此时有：
当x=2/(4k+1)+0时（注意此时的“+0”表示“正趋近”。同理后文中“-0”表示“负趋近”），
有f(x)=x|cos(π/x)| =xcos(π/x)，则该处右导数为f'(x)=cos(π/x)+(π/x)sin(π/x)；
当x=2/(4k+1)-0时，有f(x)=x|cos(π/x)| =-xcos(π/x)，则该处左导数为f'(x)=-cos(π/x)-(π/x)sin(π/x)。
②当π/x=(2k+3/2)π时（k∈Z），x=2/(4k+3)，此时有：
当x=2/(4k+3)+0时，有f(x)=x|cos(π/x)| =-xcos(π/x)，则该处右导数为f'(x)=-cos(π/x)-(π/x)sin(π/x)；
当x=2/(4k+1)-0时，有f(x)=x|cos(π/x)| =xcos(π/x)，则该处左导数为f'(x)=cos(π/x)+(π/x)sin(π/x)。

Answer 2

本题有误。当x=2/(2k+1) 时，f(x)无意义，根据定义求导数是行不通过的。