反正弦函数的值域为什么要求为[-π/2,π/2]

Question

如题所述

Answer 1

反正弦函数的值域为[-π/2, π/2]是由其定义和性质决定的。
正弦函数sin(x)的定义域为实数集，而其值域为[-1, 1]，即 -1 ≤ sin(x) ≤ 1。反正弦函数是正弦函数的反函数，记为arcsin(x)，表示满足 sin(arcsin(x)) = x 的唯一实数值。
由于正弦函数在[-π/2,π/2]区间上是单调递增的，并且在该区间的两个端点处取到极值，因此根据反函数的性质，反正弦函数的值域应该包含正弦函数在[-π/2,π/2]区间上的所有取值。
此外，反正弦函数的值域还受限于函数的定义域。反正弦函数的定义域为[-1, 1]，因为正弦函数的值域为[-1, 1]。所以，反正弦函数的值域必须是一个与定义域相对应的区间。
综上所述，反正弦函数的值域被定义为[-π/2, π/2]是基于正弦函数的取值范围以及反函数的性质，并且与正弦函数的定义域相对应。这个值域保证了反正弦函数能够覆盖正弦函数在[-π/2,π/2]区间上的所有取值。

Answer 2

函数 y=lg{arccos[√(x-1)-1]}；
定义域要求 arccos[√(x-1)-1]}>0；反正弦函数 arccos[√(x-1)-1]}是多值函数，一般约定其值域为[0,π]，在此，因对数对自变量定义域的要求 arccos[√(x-1)-1]}的值域必须限定为(0,π]，相应 √(x-1)-1 作为反正弦函数的自变量其定义域则须限制为-1≤√(x-1)-1<1，所以 x∈[1,5)；
函数 y=√arctan[(1/(x-1)]；
开平方对自变量的要求为 arctan[1/(x-1)]≥0，若约定反正切函数 arctan[1/(x-1)]的值域为[-π/2,π/2]，则在此对其自变量 1/(x-1) 的要求为 0≤1/(x-1)<+∞（对应 arctan[1/(x-1)] 的值域是[0,π/2]），所以原函数的值域是 x∈(1,+∞)；