证明平行四边形内存在唯一一点，使得这个点与四个顶点的连线组成的四个三角形面积成等比数列。

Question

如题所述

Answer 1

设这四边形ABCD中AB=a,边上的高为H,
BC=b边上的高为K,
其内的点M到AB的距离为h,到BC的距离为k.
不妨设h<=0.5H, k<=0.5K.
则M与顶点相连所成的三角形面积可以认为顺次为:
S1=0.5a*h S2= 0.5b*k S3= 0.5a*(H-h) S4= 0.5b*(K-k)
令其成等比数列,
它们应当满足:S1*S4 = S2*S3. (1)
由(1)得,h(K-k) = k(H-h),
整理得 hK=kH (2)
又由面积关系,得
aH= bK (3)
由(2),(3)得:h=k(b/a), 由此求得S1=0.5a*h = 0.5a*k(b/a)=0.5kb = S2,
即知S1=S2,即公比为1.即四个三角形面积相等,
故,此点是,且只能是其对角线的交点.而它是唯一的.