统计学习题

Question

小公司抽取86名女性经理，大公司抽取91名女性经理，根据若干个与工作有关的变量做了比较。其中所提出的一个问题是：“如果有机会的话，你是否会改变所从事的工作?"小公司的86名经理中有65人做了否定回答，大公司的91名经理中51人做了否定回答，两组女经理中有机会改变工作的比例之差的95%的置信区间是多少？

Answer 1

第一题
假设总体的实际老年人所占比例为p ，由于随机抽取了400个样本，属大样本事件，根据中心极限定理，可以用正态分布来近似。假设这n=400个人是样本X1~Xn，X1=1表示此人是老人，X1=0表示此人不是老人,则每个样本服从两点分布b(1,p)。用X0表示这n个样本的均值，我们有它的期望E(X0)= 1/nE(ΣXi)=E(x1)=p 它的方差VAR(X0)= 1/n^2VAR(ΣXi)=1/nVAR(x1)=p(1-p)/n 标准差std=根号（p(1-p)/n）。由中心极限定理我们有(x0-p)/std近似服从N(0,1)
构造假设检验：原假设H0 p=14.7% 备择假设H1 p不=14.7%
此题中， 显著性水平a=0.05, x0=57/400=14.25% ,n=400 由于(x0-p)/std近似服从N(0,1)
因此由双边假设检验，在H0成立的情况下，拒绝域为|x0-p|/std>z[1-a/2] 其中z[1-a/2]为标准正态分布的1-a/2分位数在此题中为0.975分位数。查标准正态分布表得0.975分位数为1.96,而|x0-p|/std=0.25416<1.96
因此没有足够理由拒绝H0，在数理统计中，没足够理由拒绝H0不代表肯定可以接受H0，需作进一步分析，但由于这仅是一道题，故可以近似接受H0。即认为老年人口比例占14.7%是成立的

第二题
做法与上面的类似，但是这题是区间估计，要求置信度在95%
由题意，先算出p=(48%+49%+53%)/3=50% 由于误差在%5以内，此要求意思是|x0-p|<=5%
std=根号（p(1-p)/n）=1/[2sqrt(n)] 因此|x0-p|/std<=5%*2sqrt(n)=0.1sqrt(n)
若要P(|x0-p|/std<=0.1sqrt(n))>=95% ，则0.1sqrt(n)>= 标准正态分布表的0.975分位数=1.96
因此n>=384.16 故至少需要抽查385只鸡蛋

Answer 2

参考范围是指具有明确背景资料的参考人群某项指标的测定值,例如医学参考范围指包括绝大多数的正常人的人体形态,功能和代谢产物等,表示值时可能有单侧也可能有双侧,表示方法为正态分布或百分位数法 置信区间是指在做区间的估计时指按一定的概率(1-a)估计总体参数所在的范围,其中(1-a)被称为置信度,两者的不同之处在于前者是对于某种指标的估计后者是对参数的估计,我是学医的,仍以医学统计为例吧,如果你测出某男子的血钙浓度为8mg/dl纳闷如果要看此人是否正常则需依照参考范围。而置信区间用于参数如平均数的估计,例如T分布主要得出的结论是经过多次实验后得出的某项指标的平均值所在范围,用与假设检验,可判断某些数据是否来自于同一总体。(依平均值范围)