泰勒公式
一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
由微分概念知： 在点 可导，则有 ．
即在点 附近，用一次多项式 逼近函数 时，其误差为( )的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为 ，其中 为多项式的次数．为此，我们考察任一 次多项式
(1)
逐次求它在点 处的各阶导数，得到
， ， ，
即
由此可见，多项式 的各项系数由其在点 的各阶导数值所唯一确定．
对于一般函数 ，设它在点 存在直到 阶的导数．由这些导数构造一个 次多项式
（2）
称为函数 在点 处的泰勒(Taylor)多项式， 的各项系数 1，2，…， )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知 与其泰勒多项式 在点 有相同的函数值和相同的直至 阶导数值，即 （3）下面将要证明 ，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近 时，其误差为关于 的高阶无穷小量．
定理6．8 若函数 在点 存在直至 阶导数，则有
（4）
证 设 (
现在只要证
由关系式(3)可知，
并易知
因为 存在，所以在点 的某邻域U( )内 存在 —1阶导函数 ．于是，当 且 时，允许接连使用洛必达法则， —1次，得到
定理所证的(4)式称为函数 在点 处的泰勒公式， 称为泰勒公式的余项，形如 的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．
注1 若 在点 附近满足 ， (5)
其中 为(1)式所示的 阶多项式，这时并不意味着 必定就是 的泰勒多项式 ．例如 其中D 为狄利克雷函数．不难知道， 在 处除了 外不再存在其他任何阶导数(为什么?)．因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式 ，但因 即 ，所以若取
时，(5)式对任何 恒成立．
注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n次逼近多项式 是唯一的．
综合定理6．8和上述注2，若函数 满足定理6．8的条件时，满足(5)式要求的逼近多项式 只可能是 的泰勒多项式 ．
以后用得较多的是泰勒公式(4)在 时的特殊形式：
它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．
例1 验证下列函数的麦克劳林公式：
(2)
(4) ；
(6) ．
证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明．
(2) 设 ，由于 ，因此
代人公式(6)，便得到 的麦克劳林公式．由于这里有 ，因此公式中的余项可以写作 ，也可以写作 )．关于公式3)中的余项可作同样说明．
设因此 代人公式(6)，便得 的麦克劳林公式
利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，还可用来求某种类型的极限．
例2 写出 的麦克劳林公式，并求 与 ．
解 用 替换公式1)中的 ，便得
根据定理6．8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式．
由泰勒公式系数的定义，在上述 的麦克劳林公式中， 与 的系数分别为
由此得到
例3 求 在 处的泰勒公式．
解 由于 因此
根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式．
例 4 求极限 .
解 本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为 ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取 ，并利用例2)：
因而求得
二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
上面我们从微分近似出发，推广得到用 次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当 时，逼近误差是较 高阶的无穷小量。现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。
定理 6.9 （泰勒定理）若函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，在 内存在 阶导函数，则对任意给定的 ，至少存在一点 ，使得
（7）
证 作辅助函数
所要证明的(7)式即为 或 .不妨设 ,则 与 在 上连续,在 内可导,且
又因 ，所以由柯西中值定理证得
其中 .
（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为
称为拉格朗日型余项．所以(7)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
时，即为拉格朗日中值公式 所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广．
当 时，得到泰勒公式
(8)
(8)式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式．
例5 把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式
解 (1) ，由 ，得到
(2) 由
得到
(3)类似于 ，可得
(4) 得到
。
(5) ，由 ，
得到
(6) 由 得到
三 在近似计算上的应用
这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用．在§4，§5两节里还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性．
例6 (1)计算e的值，使其误差不超过 ；
(2)证明数e为无理数．
解 (1) 由例5公式(1)，当 时有
（9）
故 ，当 时，便有
.
从而略去 而求得e的近似值为
(2) 由(9)式得
（10）
倘若 ( 为正整数)，则当 时,n!e为正整数，从而(10)式左边为 口
整数．因为 ，所以 时右边为非整数,矛盾．从而e只能是无理数．
例7 用泰勒多项式逼近正弦函数 (例5中的(2)式)，要求误差不超过 ．试以 和 两种情形分别讨论： 的取值范围．
(i) 时， ，使其误差满足
．
只须 (弧度)，即大约在原点左右 范围内以 近似sinx，其误差不超过 ．
（ii） 时， ，使其误差满足：
只需， (弧度)，即大约在原点左右 范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过 .
如果进一步用更高次的多项式来逼近 ， 能在更大范围内满足同一误差．
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