几何重数和代数重数是什么？

Question

如题所述

Answer 1

代数重数指的是方程的根的重数。几何重数指的是几何图形在该点的重数。

比如(x-1)^10=0,这个方程的根为x=1，这个根是10重的，因此x=1的代数重数为10。

再如一条直线与一个圆相切，那么切点的几何重数就是二，如果三条直线相交在一点，那么交点的几何重数就是三。

考虑某个特征值s’的特征子空间V'，V'的维数就是s’的几何重数m，再取V'的一组基（由m个线性无关的向量组成）。扩充这组基为原n维空间V的一组基，线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式。

对应的特征多项式显然是包含因子（s-s')^m的，所以s'就是特征多项式的至少m重根，也就是“代数重数大于等于几何重数”。

在矩阵运算中，该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间（即特征子空间，也是方程组(λI-A)x=0）的维数，称为几何重数。

指方程的根的重数，也就是说，方程的根是几重根。复方阵A可对角化的充分必要条件是A的每个特征值的几何重数与代数重数相等。复方阵A的每个特征值对应的几何重数小于等于代数重数。