无理数悖论,毕达哥拉斯提出“万物皆是数”的观点,数的元素就是万物的元素,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序 。毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的,这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”(指有理数)的哲理大相径庭。这是第一次数学危机, 人类由此发现了无理数2. 芝诺悖论“两分法”:向着一个目的地运动的物体,首先必须经过路程的中点,然而要经过这点,又必须先经过路程的1/4点……,如此类推以至无穷。——结论是:无穷是不可穷尽的过程,运动是不可能的。“阿基里斯(《荷马史诗》中的善跑的英雄)追不上乌龟”:阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点,因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样,所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。“飞矢不动”:意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上,因而是静止的,所以箭就不能处于运动状态。这是第二次数学危机, 完善了极限和微积分的定义3. 罗素悖论通俗版本是小城里的理发师放出豪言:“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸”。但问题是:理发师该给自己刮脸吗?如果他给自己刮脸,那么按照他的豪言“只为那些不为自己刮脸的人刮脸”他不应该为自己刮脸;但如果他不给自己刮脸,同样按照他的豪言“为城里所有不为自己刮脸的人刮脸”他又应该为自己刮脸。这是第三次数学危机,最终形成了现在的公理化集合论。
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