平行四边形的判定

Question

平行四边形的二十多种判定，，越多越好..

Answer 1

平行四边形的判定方法

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的判定
平行四边形的判定
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
6.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。

示例解题
已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．
（1）若AO⊥BD，试求四边形ABCD的面积；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD= ，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=
AC= ，BD= ，试求四边形ABCD的面积（用含
q，a，b的代数式表示）．
平行四边形的判定
平行四边形的判定
解：（1）∵AC⊥BD
∴四边形ABCD的面积S=1/2AB×BC
=1/2×10×8
=40………………………………………2分
（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E …………………………………3分
∵四边形AB CD为平行四边形AO=CO=1/2AC=5，
BO=DO=1/2BD=4
在Rt⊿AOE中， sin∠AOE=AB/AO
∴ AE=AO×sin ∠AOE=AO×sin60°=5×√3/2=5√3/2…………4分
∴S△AOD=1/2OD×AE=1/2×4×√3/2×5=5√3………………………………5分
∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20√3……………………………………6分
(3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F …………7分平行四边形的判定
平行四边形的判定
在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AE/AO
∴ AE=AO×sin∠AOE=AO×sinq
同理可得 CF=CO×sin∠COF=CO×sinq………………………………8分
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=1/2BD×AE+1/2BD×CF
=1/2BD×sinq（AO+CO）
=1/2BD×ACsinq
=1/2absinq…………………………………10
〔3〕如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．
分析：　由四边形ABCD是平行四边形，可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形的判定
平行四边形的判定
∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，
∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，
又∠3=∠CFB，
∴∠2=∠CFB，
∴AE∥CF，
又CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形

Answer 2