（2014?营口模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，

Question

（2014?营口模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠ADC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结OE，如图，
∵E是弧AC的中点，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠OAC，
∴∠ECA=∠OAC，
∴EC∥OA，
而OC∥AE，
∴四边形OAEC为平行四边形，
而OA=OC，
∴四边形OAEC为菱形，
∴CE=OC=OE=2，
∴△OCE都为等边三角形，
∴∠COE=∠OCE=60°，
而∠DCO=90°，
∴∠DCE=30°，
在Rt△DCE中，CE=2，
∴DE=

1

2

CE=1，DC=

3

DE=

3

，
∴S_△DCE=

1

2

?1?

3

=

3

2

，
∵AE弧=CE弧，
∴弓形AE的面积=弓形CE的面积，
∴S_阴影=S_△DCE=

3

2

．