跪求正切函数导数推导过程，不要用导数运算法则

Question

如题所述

Answer 1

设原有角度为a，一微小变量为△a，则正切导数为
[tan(a+△a)-tana]/△a
={ [ (tana+tan△a) / (1-tanatan△a) ]-tana } / △a
=[ (tan△a+(tana)²tan△a) / (1-tanatan△a) ] / △a
=(tan△a+(tana)²tan△a) / [ △a-(tanatan△a)*△a ]
忽略△a*tan△a项，因为太小，且因为△a无限趋近于0，所以有近似tan△a=△a

上式=1+(tana)²=1/cosa²

Answer 2

应用导数定义推导。设f(x)=tanx。
按照导数定义f(x)'=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x=lim(△x→0)[tan(x+△x)-tanx]/△x。
而，tan(x+△x)=(tanx+tan△x)/(1-tanxtan△x)，∴tan(x+△x)-tanx=sec²xtan△x/(1-tanxtan△x)。
∴f(x)'=sec²xlim(△x→0)tan△x/[(1-tanxtan△x)(△x)]=sec²xlim(△x→0)[tan△x/(△x)]/(1-tanxtan△x)=sec²x。
供参考。

Answer 3

如图所示

Answer 4

sin简称s，cos简称c，tan简称t，t＝s#c,t的导数y＝（cc+ss）#cc完了～～追问

不用运算法则

追答

呃呃，这个都不用～～

等哈

我好像化解不了
～～

没办法吧

哪儿的题？

追问

谢谢

我自己化解出来了

我给你发图片，你也看看吧

追答

谢谢

追问

追答

嗯，把定义都忘了😱

追问

好了，谢谢你的陪伴，玩安

晚安

追答

晚安～～

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Answer 5

tan'(x)=lim(Δx→0)[tan(x+Δx)-tanx]/Δx

=lim(Δx→0)[tan(x+Δx)-tanx]/Δx

=lim(Δx→0)[(tanx+tanΔx)/(1-tanxtanΔx)-tanx]/Δx

=lim(Δx→0)[(tanx+tanΔx)/(1-tanxtanΔx)-tanx]/Δx

=lim(Δx→0)[(tanx+tanΔx-tanx+tan²xtanΔx)/[(1-tanxtanΔx)Δx]

=lim(Δx→0)[(tanΔx(1+tan²x)/[(1-tanxtanΔx)Δx]

=lim(Δx→0)[(1+tan²x)/[(1-tanxtanΔx)]

=(1+tan²x)=sec²x    (lim(Δx→0)tanx/x=lim(Δx→0)sinx/xcosx=1)