按你的图,椭圆的中心不在原点,不妨设椭圆的方程为(x-x0)^2/a^2+y^2=1,(x0>0)椭圆绕y轴旋转一周
由(x-x0)^2/a^2+y^2=1解得x2=x0+a/b*根号(b^2-y^2),x1=x0-a/b*根号(b^2-y^2),
椭圆环体积就等于曲线x2与x1绕y轴旋转一周所得体积的差
用定积分来求,积分区间都是[-b,b],以y为积分变量,先求x2^2-x1^2在[-b,b]上的定积分,
x2^2-x1^2=4x0*a/b*根号(b^2-y^2)
用第二类换元积分法,可求得x2^2-x1^2的一个原函数为
F(x)=2x0*ab*arcsiny/b+2x0a/b*y*根号(b^2-y^2)
F(b)-F(-b)=2∏x0ab
所求的体积为∏(F(b)-F(-b))=2∏^2x0ab
由(x-x0)^2/a^2+y^2=1解得x2=x0+a/b*根号(b^2-y^2),x1=x0-a/b*根号(b^2-y^2),
椭圆环体积就等于曲线x2与x1绕y轴旋转一周所得体积的差
用定积分来求,积分区间都是[-b,b],以y为积分变量,先求x2^2-x1^2在[-b,b]上的定积分,
x2^2-x1^2=4x0*a/b*根号(b^2-y^2)
用第二类换元积分法,可求得x2^2-x1^2的一个原函数为
F(x)=2x0*ab*arcsiny/b+2x0a/b*y*根号(b^2-y^2)
F(b)-F(-b)=2∏x0ab
所求的体积为∏(F(b)-F(-b))=2∏^2x0ab
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