椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>0 b>0)的左右焦点分别为F1、F2,M,N是直线x=a^2/c上的两个动点

Question

且F1M向量和F2N向量的乘积为零 （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点o与圆C的位置关系（2）设椭圆的离心率为1/2，MN的最小值为 二倍根号15 ，求椭圆方程

Answer 1

(1) 只要比较原点和圆心之间距离与半径的关系即可
F1(-c,0),F2(c,0),M(a^2/c,yM),N(a^2/c,yN)
向量F1M*向量F2N=(a^2/c +c,yM)(a^2/c -c,yN)=0
即a^4/c^2 - c^2 + yM*yN=0
yM*yN=c^2- a^4/c^2
设C是以MN为直径的圆,MN的中点为（a^2/c, (yM+yN）/2）
圆的半径r为|MN|/2=|yM-yN|/2
原点和圆心之间距离平方
d^2=(0- a^2/c)+(0-(yM+yN）/2)^2
=(yM^2+yN^2)/4 +2yM*yN/4+a^4/c^2
=(yM^2+yN^2)/4 +[c^2- (a^4/c^2))/2 +a^4/c^2
=(yM^2+yN^2)/4 + c^2/2 + a^4/(2c^2)
r^2=[|yM-yN|/2]^2=(yM^2+yN^2)/4 - yM*yN/2
=(yM^2+yN^2)/4 –(c^2- a^4/c^2)/2
d^2-r^2= c^2/2 + a^4/(2c^2)+(c^2- a^4/c^2)/2=c^2>0
d>r,原点和圆心之间距离大于半径，原点在圆外。
（2）本问主要是用均值不等式
椭圆离心率为1/2 ,c/a=1/2,a=2c,
yM*yN=c^2- a^4/c^2=c^2-16c^2=-15c^2，yN=-15c^2/yM
|MN|=|yM-yN|=|yM-(-15c^2/yM)|=|yM+ 15c^2/yM|规定M在X轴上方
|MN|= yM+ 15c^2/yM，当且仅当yM= 15c^2/yM，即yM=√15c,
|MN|min= yM+ 15c^2/yM=√15c +15c^2/√15c=2√15c=2√15,
c=1,a=2c=2,b^2=a^2-c^2=3
椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1

Answer 2

这个是第一问。。。O在园外

Answer 3

原点在圆C外

Answer 4

这个问题我也想问。。。

Answer 5

孩子你是一中的么。。

Answer 6

哈哈 是是