圆锥曲线

Question

正方形ABCD的两个顶点A B在抛物线y^2=x上，两顶点C D在直线y=x+4上 求正方形边长

已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交于A B两点 直线y=kx+b和圆相切于劣弧AB上一点，并交抛物线于两点M N两点 求M N到抛物线的焦点的距离之和的最大值

过T(-1,0) 作直线与抛物线Y^=4X交于A B两点，若在X轴上存在一点E 使三角形ABE为等边三角形，求E坐标．

Answer 1

1.楼上应该对的，算出来就行了。
2.x^2=4y,x^2+y^2=32
得到交点(4,4)(-4,4)
y=kx+b,x^2+y^2=32
(1+k^2)+2kbx+b^2-32=0
德尔塔=0…………（1）
-4<=-(kb)/(1+k^2)<=4…………（2）
解得，k^4<=1
-1<=k<=1,4根号2<=b<=8
y=kx+b,x^2=4y
德尔塔>0
k^2+b>0
而显然b>0
所以两者恒有两个交点。
M,N到焦点的距离根据性质也就是到准线的距离。
也就是M,N的中点Q到直线y=-1/16的最大距离的两倍，
设M(x1,y1),N(x2,y2)
所以Q(x1+x2/2,y1+y2/2)
所以Q(k,k^2+b)
所以Q到准线值为k^2+b+1/16=(b^2+32b-30)/32
b=8,最大值为145/16
那M,N到焦点距离最大值和就是145/8
3.这道题好烦啊。
我说个思路算了，算起来实在是烦。
首先表示出直线的方程，只有一个参数k,
利用弦长公式，表示出弦长，等于一个交点于（a,0）的距离。
写出两个交点的中点的坐标，与(a,0)的向量垂直于直线的方向向量。
根据以上两个关系列出方程求解。
这个方法对是对的，可是总觉得太烦了。如果你有巧妙一点的方法，也别忘了告诉我。

Answer 2

1题:由题意可设A(a^2,a),B(b^2,b),C(c,c+4),D(d,d+4);则向量AB＝（b^2-a^2,b-a),BC=(c-b^2,c-b^2c+4-b),DC=(c-d,c-d),,AD=(d-a^2,d+4-a),由于ABCD为正方形则：AB＝DC，BC＝AD：b^2-a^2=c-d....(1);b-a=c-d..(2);且AB垂直BC，/AB/＝/BC/，又有：（b^2-a^2）*（c-b^2）＝（b-a）*（b-c)...(3);(b^2-a^2)^2+(b-a)^2=(c-b^2)^2+(c-b^2)^2....(4);
联解4个方程可求的．（用做图法简单的多．）
2题，焦点还没学，SORRY．
3题：Y^是打错了吗？