容易被忽略的数学定理，函数唯一的极值是最值，超好用的

Question

如题所述

Answer 1

数学中，一个容易被忽视但极为实用的定理是：函数唯一的极值是最值。这一定理简洁明了，却在求解最值问题时往往被忽视。通常，我们通过比较端点、不可导点和稳定点的函数值来判断最值，但当函数仅有一个极值点时，其实无需纠结于端点的极限问题。

定理证明分为两个部分。首先，若函数f在区间I上连续且在I内有唯一极值点x0，若x0是极大值点，则x0即为f在I上的最大值点；同样，若x0为极小值点，则x0即为f在I上的最小值点。这里，“连续”条件并非必要，去掉这一条件，定理依然成立。

证明过程如下：若x0是f在I内的唯一极大值点，则对任意x∈I，有f(x)≤f(x0)，同理可证若x0是唯一极小值点，则x0为最小值点。

这一定理的实际应用相当直观。例如，求解函数y=√x·lnx在(0, +∞)区间内的最值。

分析该函数，y在(0, +∞)上可导。唯一稳定点为x=1/e²，且当0<x<1/e²时，y'1/e²时，y'>0。由此可知x=1/e²是函数的极小值点。

因此，x=1/e²是函数唯一的极值点，且是唯一的极小值点，所以y=-2/e是函数的最小值。同时，由于该函数定义在开区间内，故在(0, +∞)上无最大值。

通过图像观察，直观理解这一定理的应用，对于求解函数最值问题将有更深入的理解。