中心投影：射影几何的探索之旅
想象空间中，所有通过某个固定点O的直线形成一个神秘的线束B(O)，这是中心投影的基础概念。[1]中心投影的魔力在于其不变量——单比与复比，它们揭示了射影变换的独特性。
中心投影的构建分为两个关键步骤：首先，平面Π对线束进行截影τ，将平面的投影映射至B(O)；然后，通过射影σ将线束投射至另一个平面Π'。然而，截影τ并非全射，因为平行于Π的直线在B(O)中没有原点对应。Kepler的大胆设想引入了“无穷远点”和“无穷远直线”，射影平面Π*因此诞生，成为与线束建立一对一关系的关键桥梁。
射影变换的魅力在于它能保持点的共线特性，然而，为了深入理解，我们需要挖掘一个不变的特性。考虑直线L与点O，通过移动Π'，我们观察到L'与L共面，不变的不仅是它们之间的夹角，还有B(O)中过P,M,Q点的直线。利用正弦定理，我们定义单比，它是共线三点间角的正弦值，但单比受到OP/OQ的影响。通过引入“二次单比”，我们消除了这个可变因素，而共面四点的复比，则是射影变换的真正核心不变量，它由线束中直线夹角的正弦值确定。[2]
一个深刻的性质是：当直线AB与CD相交时，它们“分割”关系的判断依赖于复比的符号。定理揭示了复比的运算规则：(CD;AB)等于(AB;CD)，且(AB;CD)的倒数等于(BA;CD)。[3]证明这些定理时，射影坐标架[M;d₁,d₂]与[O;d₁,d₂,d₃]起到了关键作用，射影坐标将平面上的点转化为(α:β:1)，其中“形式坐标”0代表无穷远点的独特地位。[4]
射影几何的对偶原理揭示了点与直线在射影平面上的对等关系，点线互换不会改变命题的实质。通过射影变换ρ，我们要求它保持复比不变，从而限制了变换的可能。特殊地，有限点映射到有限点的变换称为仿射变换，包含线性变换和平移，当直线保持正交时，我们有合同变换，代表平面上的刚体运动，如旋转和反演。[5]
射影平面上的二次曲线Γ*，其代数表达式反映出射影变换的本质。调和共轭是关于二次曲线的重要概念，点P与Γ的调和共轭点Q都在一条特定的直线——极线Γ(P)上。这些性质在处理圆锥曲线的切线问题时显得尤为有用。定理指出，两点P和Q关于二次曲线调和的条件，可以通过(PQ;MN)=-1来判断。在实数扩展到非标准实数ℝ*时，我们可以简化证明过程，使得理论与实践更为紧密地结合。[6]
最后，中心投影与共形几何紧密相连，后者研究的是形状保持的映射，如圆的反射。龙林的另一篇文章深入探讨了这个领域，将带你走进更深层次的射影几何世界。[7]
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