概率论与数理统计中得质点移动问题

Question

一质点在x轴上原点处开始随机移动，每次移动的距离可能是0（不动），可能是1（右移一个单位），可能是－1（左移一个单位），且移动距离为0的概率为p0，移动距离为1的概率为p1，移动距离为－1的概率为p-1（ p0 + p1+ p-1=1）.求：经2n次随机移动后质点回到出发点（原点）的概率。

Answer 1

设向左边移动步数为X，向右边移动步数为Y，要在2n次移动后回到原点，因此X=Y。
P(经2n次随机移动后质点回到出发点)=P(X=Y)
=Σ(k=0,n)*P(X=Y=k)
=Σ(k=0,n)*C(2n,k)*C(2n-k,k)*p1^k* p(-1)^k*P0^(2n-2k)

Answer 2

设随机变量X，其概率密度函数为
f=p-1，当x=-1;f=p0，当x=0;f=p1，当x=1
随机变量Xi表示第i次移动的情况，Xi独立同分布与X
Y=∑Xi(i从1到2n)，题目要求回到原点的概率，即P{Y=0}
那么我们就考虑什么时候会出现Y=0
显然，如果有一个Xi=-1，一定有一个Xj=1，即-1和1总是成对出现。
那么一共有n+1种情况：
完全不动,P0=(p0)^n
走一步左右，P1=C(2n,2)*C(2,1)*(p0)^(2(n-1)*[p1(1-p)]^(1)
走两步左右，P2=C(2n,4)*C(4,2)*(p0)^(2(n-2)*[p1(1-p)]^(2)
……
走n-1步左右，P(n-1)=C(2n,2n-2)*C(2n-2,n-1)*(p0)^(2)*[p1(1-p)]^(n-1)
走n步左右，Pn=C(2n,2n)*C(2n,n)*(p0)^(0)*[p1(1-p)]^(n)

P{Y=0}=P0+P1+P2+……+Pn
下面就是怎样化简P{Y=0}的问题了