高数二，洛必达法则

Question

洛必达法则是怎么推导出来的？洛必达凭什么，怎么得出的这个法则，你说是这样就是这样吗？依据是什么？还有为什么不是
1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； 　　(3)当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么 　　x→a时 lim f'(x)/F'(x)。 =A
我觉得这样更好更直观，
说明函数比为某个数或无穷时，导函数之比同样（同样适用于x→∞）

当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么 　　x→a时 lim f'(x)/F'(x)。 =A
同样适用于x→0
我这样说对吗?
高手主要帮我看看后面的问题，因为关于推导的过程，我稍微听说了一点，而后面的问题是我提出的新论点、说不定会引领时代的潮流

Answer 1

关于问题“当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么x→a时lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)，同样适用于x→0”，
如果说，同样，成立“当x→0时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么x→0时lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”，这句明显是对的；
如果说，同样，成立“当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大)，那么x→0时lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”，这句就是错的。

关于把结论写成“x→a时 lim f'(x)/F'(x)=A”的问题，如果要这样写，应该写成“x→a时 lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”是对的。其实在这种写法中，暗含着：“函数比的极限为某个数或无穷时，导函数之比的极限同样”的意思，所以洛必达法则的结论也写成“x→a时 lim f'(x)/F'(x)=x→0时 lim f(x)/F(x)”。两种写法只是形式不同，本质是相同的，即函数比的极限为某个数或无穷时，导函数之比的极限同样”。

关于洛必达法则的推导依据，在大一高等数学课程中有。

Answer 2

你的条件还是缺少，还要加上f(x)与F(x)在该处极限值相等，同时，这里还有一个问题，其导数必须是连续函数。比如在导数函数在x=a为间断点的时候，罗比达法则不成立。

Answer 3

一般用拉格朗日中值定理推导