一、积分的无限魅力
想象一下，函数 g(x) 在区间 (a, b) 中悄然展现，其定积分F(b) - F(a)随上限 x 的变化而变化。这样，我们便在区间上定义了一个神秘的函数，我们称之为变限积分函数F(x)，它就像一个随心所欲的画笔，描绘出无限可能的曲线。
二、求导公式：艺术与科学的交融
当F(x)、f(x)和g(x)都是连续且可导的，变限积分函数的求导公式如同交响乐的和弦，奏出美妙的旋律。利用牛顿-莱布尼茨法则和复合函数的魔法，我们得到:
如果F'(x)存在，那么F(b) - F(a)的变化率就是f(x)在x处的值乘以g'(x)，即g'(x) * f(x)。
三、定理的光辉：积分上限函数的导数
定理1如晨曦照亮黑暗，揭示了积分上限函数的秘密：若f(x)在区间<a, b上连续，那么F(x)在<a, b上确实拥有导数，其导数值就是那关键的一笔——f(x) * g'(x)。
四、实战演练：应用与深度解析
让我们用一个实例来证明这个原理的威力。求解极限lim_{h->0} (F(b+h) - F(b)) / h，当我们把g(x)的代表函数f(x)带入，利用洛必达法则，答案便在变限积分函数求导公式的指引下浮出水面。
【例】揭秘极限的奥秘
令u(x) = x，则有F'(x) = f(x)。根据公式，我们得到：lim_{h->0} (F(b+h) - F(b)) / h = f(b) * lim_{h->0} (b+h - b) / h = f(b)，这就是变限积分函数在实际问题中的神奇力量。
五、扩展：复合函数的导数魔法
当积分形式复杂，我们可以巧妙地将函数分解。以下是两种常见的处理方式：
如果积分项可以分离，比如\(\int f(g(x)) g'(x) dx\)，则导数为f(g(x)) * g'(x)。
【例】求\(F(x) = \int e^{g(x)} g'(x) dx\)的导数，我们有F'(x) = e^{g(x)} * g'(x)。
面对不能直接分离的函数，如\(\int f(u) du\)，通过换元法将u独立出来，如u = g(x)，则有F'(x) = f(g(x)) * g'(x)。
【例】求\(F(x) = \int x^2 \sqrt{x+1} dx\)的导数，通过令u = x + 1，我们可得F'(x) = (x+1)^{3/2}。