为什么hermite矩阵的特征值是实数？

Question

如题所述

Answer 1

hermite矩阵的特征值如下：

设A是Hermite矩阵，则A＾H＝A，A＾H是A的共轭转置，设a是A的任意特征值，x是相应特征向量，则Ax＝ax，两边取共轭转置得x＾HA＾H＝a＊x＾H。

其中a＊是a的共轭复数，两边分别右乘x得x＾HAx＝a＊x＾Hx，由Ax＝ax得ax＾Hx＝a＊x＾Hx由x不为零，x＾Hx不为零（＞0），故a＝a＊，一个复数等于它的共轭复数，它必是实数，故a为实数。因此：hermite矩阵的特征值是实数。

性质

显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

若A和B是埃尔米特矩阵，那么它们的和A＋B也是埃尔米特矩阵；而只有在A和B满足交换性（即AB＝BA）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。

埃尔米特矩阵是正规矩阵，因此埃尔米特矩阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组C的正交基。

对称矩阵与尼米特矩阵

对称矩阵与尼米特矩阵是实践中遇到比较多的矩阵。例如：电路中的许多矩阵，象电阻性网络中回路方程的阻抗矩阵图论中无向图的邻接矩阵等。这两种矩阵的性质与有关定理有许多共同之处。实数域上的一个阶矩阵A，如果A＝A＇，则称A为对称矩阵。