如何证明limx-正无穷(1+ x)^ x= e

Question

如题所述

Answer 1

lim(x-0) (1+x)^(1/x)=e
等价于 limx-无穷 （1+1/x)^x=e

等价于证明 limx-正无穷 （1+1/x)^x=e
limx-负无穷 (1+1/x)^x=e 两式同时成立
这里先证明整数情况时候limn-无穷大 (1+1/n)^n=e
设f(x)=(1+1/(n+1))^n n<=x<n+1 n为正整数
g(x)=(1+1/n)^(n+1) n<=x<n+1 n为正整数
再证明 f(x)递增有上界 g(x)递减有下界 所以limx-正无穷 f(x)存在
limx-正无穷g(x)存在
由归结原则 取{xn}={n}
limx-正无穷f(x)=limn-正无穷(1+1/(n+1))^n=e
limx-正无穷g(x)=limn-正无穷(1+1/n)^(n+1)=e
当n<=x<n+1时有
1+1/(n+1)<1+1/x<1+1/n
(1+1/(n+1))^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^(n+1)
f(x)<(1+1/x)^x<g(x)
由迫敛性得证