X为随机变量，C为常数，E(X)不等于C。不等式D(X) < E[(X-C)^2]有什么意义？来源大学经济数学概率的

Question

如题所述

Answer 1

设函数f(t)=E[(X-t)²],f(t)=EX²+Et²-2EtX, 注意这里X是随机变量，而t是一个普通变量,所以Et=t
f(t)=EX²+t²-2tEX=EX²-[EX]²+[EX]²+t²-2tEX=DX+(EX-t)²
得到f(t)=DX+(EX-t)²,
可见当t=EX时,f(t)=E[(X-t)²]取最小值DX

Answer 2

使 E[(X-C)^2] 取最小值的 C值恰好等于E(x)，如果C≠E(x)，那么随机变量X相对于C的偏差的平方平均值都大于D(x)。
不等式D(X) < E[(X-C)^2]的意义是：只要C≠E(x)， E[(X-C)^2]就大于X的方差D(x)，只有C=E(X)
时，E[(X-C)^2] ＝D(X).