设A是一个实对称矩阵，且，试证：必有实n维向量X，使XTAX<0

刚才漏了个

推荐答案 2011-11-17

第一,
实对称矩阵是可以正交相似对角化的.
即A实对称则存在正交矩阵P,使得:P转置AP=对角阵(对角线上元素正好是n个特征值).
这样的话就可以先不管A,我们先只看他的相似对角型,即只考虑对角阵,对角阵记为B

由于A的行列式为负值,A的行列式等于n个特征根的乘积.所以一定有负的特征根(反正:如果特征根全正,那么其乘积也就是行列式的值也是正的与条件矛盾)不妨设,对角阵的第一个元素是负的a1<0

那么我们取,列向量y=(1,0,0,...,0,0)的转置 (就是第一个元素是1,其他n-1个是0)则 y转置By=a1<0.
又回头看 P转置AP=B,所以令x=Py,这个x就是我们要找的那个向量.

我们来验证一下:x转置Ax=y转置P转置APY=y转置BY=a1<0,回答完毕.

不知道你线代基础怎么样,我回答的是大体思路和我预想的你可能不懂的地方.不懂可以继续追问

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第1个回答 2011-11-13

这显然是错误的，例如单位矩阵是个实对称矩阵，就找不到x满足此条件

lz大概还不知道什么叫“正定”二次型吧

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设A是一个实对称矩阵，且 ，试证：必有实n维向量X，使XTAX<0

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