大一高数问题

Question

对函数f(x)＝sinx及g(x)=x＋cosx,在区间[0，兀／2]上验证柯西中值定理的正确性，思路、步骤。谢谢

Answer 1

柯西中值定理:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在（a、b）内可导，且g'(x)≠0(x∈(a,b))， 　　则至少存在一点,ξ∈(a,b), 使得 f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立。

f(x)＝sinx及g(x)=x＋cosx,在区间[0，兀／2]上连续,在（0，兀／2）内可导,且g'(x)≠0
构造F(x)=f(x)-f(0)-[f(π/2)-f(0)]*[g(x)-g(0)]/[g(π/2)-g(0)] =sinx-(x+cosx-1)/(π/2-1）
F(0)=F(π/2)=0
由罗尔定理知：存在ξ∈(0,π/2),使得F'(ξ)=0.
F'(x)=cosx-(1-sinx)/(π/2-1）,
F'(ξ)=cosξ-(1-sinξ)/(π/2-1）=0
cosξ/(1-sinξ)=1/(π/2-1)=[f(π/2)-f(0)]/g(π/2)-g(0)]
因此验证验证柯西中值定理的正确性