隐函数 求导

Question

不明白，比如y∧5+4xy+x∧4=6,左右两边对x求导，为啥y和x都要用导数公式，求导后有y的一项还多了dy/dx?
书上说把y看成y(x)，也不明白…
我上高二，微积分在自学，糊里糊涂的。还望指点…

Answer 1

不明白，比如y^5+4xy+x⁴=6,左右两边对x求导，为啥y和x都要用导数公式，求导后有y的一项还多了dy/dx?书上说把y看成y(x)，也不明白…
解：隐函数求导一般有两种方法。
(一)。直接求导法。你提的问题就是在使用这种方法时常出现的问题。
隐函数F(x，y)=0给定了一个函数y=f(x)，现在要在不解出这个显函数y=f(x)的条件下，用F(x，y)=0直接求出dy/dx；这里的问题是：F是x的函数，也是y的函数，但y又是x的函数，从这个层面看，y在这里是中间变量；因此当用F通过y对x求导时要用复合函数的求导方法：将F(x，y)=0的两边对x求导得∂F/∂x+(∂F/∂y)(dy/dx)=0..........(1)
如上例：F(x，y)=y^5+4xy+x⁴=6，两边对x求导：
∂F/∂x+(∂F/∂y)(dy/dx)=(4y+4x³)+(5y⁴+4x)(dy/dx)=0，故dy/dx=-(4y+4x³)/(5y⁴+4x)
(二)公式法：已知F(x，y)=0给定一个函数y=f(x),，那么dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)，这个公式就是上
面(1)的变形。

Answer 2

因为y是x的函数，对y求导时相当于复合函数的求导，
y∧5+4xy+x∧4=6,左右两边对x求导
5y^4*dy/dx+4(y+x*dy/dx)+4x^3=0
然后解方程dy/dx=(-4x^3-4y)/(5y^4+4x)
就可以了