一道新型数学题

Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点。如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点远动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动。若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
此题可有多个答案

Answer 1

首先从等腰三角形考虑。
共有三种可能，分别为CQ=CP、PQ=QC、PQ=PC。设时间为t,则由题意有0<t<3
第一种情况。则可得方程10-2t=12-4t,所以t=1。此时CQ=CP=8cm，则可算出L△CPQ>18,所以
错误。
第二种情况。PQ=QC,所以必定有PQ∥AB，所以可得CQ/CA=CP/CB,
所以有（12-4t)/12=(10-2t)/10,所以有120-40t=120-24t,则t=0,此时PQ=PC=12，所
以L△CPQ>18，错误。
第三种情况。由题意有△CPQ∽△CAB，所以有CP/CA=CQ/CB,所以有（10-2t)/12=(12-4t)/10
所以有100-20t=144-48t,所以有28t=44,所以t=11/7,则此时CP=PQ=10-22/7
CQ=12-44/7,所以有L△CPQ=20-44/7+12-44/7=32-88/7>18,所以错误。

现从另一角度入手。已知其周长为18。由原题可求得sinC=√199/12，所以S△CPQ=1/2xCPxCQxsinC,所以有S=0.5(12-4t)(10-2t)sinC,而根据海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，可以列出两种可能的方程，则有方程
0.25（12-4t)^2(10-2t)^2x199/144=18(18-12+4t)(18-10+2t)^2或
0.25（12-4t)^2(10-2t)^2x199/144=18(18-12+4t)^2(18-10+2t)成立。
对其求解，均无解。

所以，若原题无问题，则答案就是不论经过多久，都不可能是等腰三角形。

Answer 2

假设时间为ts,0<t<3
1，若等腰为PC=CQ
则12-4t=10-2t
t=1
此时CQ=11,CP=9
△CPQ周长肯定〉18，所以不成立。
2，若等腰为PQ=CQ
则2(12-4t)+10-2t=18
t=1.6
3，若等腰为PQ=CP
则12-4t+2(10-2t)=18
t=1.75
所以时间为1.6s或1.75s追问

第一种情况中CQ为何是11，应是8，不是吗？

追答

==,我粗心了，还要考虑边长合不合理

追问

那正确答案应是？

追答

假设时间为ts,0<t<3
1，若等腰为PC=CQ
则12-4t=10-2t
t=1
此时CQ=8,CP=8△CPQ周长是18，
那么PQ=2
用三角函数算肯定不成立。
2，若等腰为PQ=CQ
则2(12-4t)+10-2t=18
t=1.6
3，若等腰为PQ=CP
则12-4t+2(10-2t)=18
t=1.75
所以时间为1.6s或1.75s
第二三种情况△CPQ与△ABC因为底角相同，且都是等腰三角形。那么腰和底边比例应该相同，可算下来也不相同。
题目你确定没问题？
如果既说周长是18又是等腰三角形，那么肯定无解

本回答被提问者采纳

Answer 3

首先由题意得cosC=5/12,设经过X秒后达到题意，所以
①若CP=CQ时，10-2X=12-4X所以X=1，此时PQ必须等于2（因为CP=CQ=8)显然不成立
②若PQ=CQ,，则三角形ABC和三角形QPC相似，所以BP=BC-PC=10-10*18/34，AQ=AC-QC=12-12*18/34，显然AQ≠2BP,所以不成立
③若CP=PQ,所以CQ=2CP*cosC=2（10-2X)=12-4X，又因为2CP+CQ=18，所以X=11/7
所以X=11/7

Answer 4

你这是两个问题吧？(1)经过几秒，△CPQ的周长是18cm？(2)过几秒后，△CPQ是等腰三角形？
对吗？既规定了周长就不能再规定是等腰三角形；规定是等腰三角形就不能规定周长；等你答复
后再作答。追问

不是两个，题目没有出错

追答

解：经过t秒，CP=10-2t，CQ=12-4t，那么PQ= 18-[(10-2t)+(12-4t)]=6t-4.
此时CP+CQ+PQ=(10-2t)+(12-4t)+(6t-4)=18
下面在保证周长为18的条件下确定时间t，然后再检查此时刻是不是等腰三角形。
cosC=5/12，由余弦定理：
(6t-4)²=(10-2t)²+(12-4t)²-2(10-2t)(12-4t)(5/12)
展开化简得：17t²+6t-96=0解得t=(-17+√6564)/34=(-17+81.0185)/34=1.8829秒
此时CP=10-2×1.8829=6.2342；CQ=12-4×1.8829=4.4684；PQ=6×1.8829-4=7.2974；
6.2342+4.4684+7.2974=18cm，即周长满足要求。
显然这三条边没有任何两条等长，也就是说，在保证周长18的条件下，△CPQ不可能是等腰三角形；当然，在保证△CPQ 是等腰三角形的条件下，就不能保证其周长是18cm.
熊掌和鱼翅不可兼得也！

Answer 5

12-4x=10-2x
x=1,经过1s后为等腰三角形