设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵，证明r(A)+r(A-E)=n

Question

如题所述

Answer 1

知识点:
1. AB=0 , 则 r(A)+r(B) <= n. 其中A,B分别是 m*n, n*s 矩阵.
2. r(A+B) <= r(A)+r(B)

证明: 由A^2=A得 A(A-E)=0
所以 r(A)+r(A-E) <=n.
又 n = r(E) = r (A - (A-E)) <= r(A)+r(A-E).
所以 r(A)+r(A-E) = n.