1*2*3*4*5*6*7*8*9*...*n等于多少，急急急！！！

Question

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×............×n等于多少呢,请用含n的代数式表示,不胜感激啦,若不能表示,请说明理由
1×﹙1-4﹚+2×﹙2-4﹚+3×﹙3-4﹚+4×﹙4-4﹚+5×﹙5-4﹚.....n×﹙n-4﹚等于多少呢；若减5呢,减6呢,减7呢,.....减m呢?跪求世外高人解答,(答出有50分悬赏)
再问一下，1^m+2^m+3^m+4^m+.....n^m为多少呢

Answer 1

第一个，已经是最简，有时简记n!。大学里会学一个Stirling公式来估算n!。

∑k*(k-m)=∑k^2-∑k*m=∑k^2-m*∑k=n*(n+1)*(2*n+1)/6-m*n*(n+1)/2
(以上对k求和，求和指标k=1 .. n)
令m=4即得欲求之代数式。

如果写长一点就是：
1*(1-4)+2*(2-4)+3*(3-4)+4*(4-4)+……+n*(n-4)
=1^2-1*4+2^2-2*4+3^2-3*4+……+n^2-n*4
=1^2+2^2+3^2+……+n^2-4*(1+2+3+……+n)
=n*(n+1)*(2*n+1)/6-4*n*(n+1)/2。
这里用到了公式1^2+2^2+3^2+……+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6，可参见小学数学奥林匹克初级读本（魏有德主编，四川大学出版社，大概是1990年出版），也可参见第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛专辑（上面有初等的证明）追问

为什么n!不能求出准确值呢

追答

没说n!不能求出准确值，当然可以求出来，一个一个乘就是了，但是在n较大时计算量很大而已。
Stirling公式给出一个估算方法，不需要那么大的计算量就能知道大致数量级。

至于1^m+2^m+3^m+4^m+……+n^m的求法，
对确定的m，参照《第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛专辑》上的方法都能求出来，但是当m>3时已经很复杂了。对于一般的m，暂时还没有简便的表达式，只能用等价形式表示出来，意义不大。
当然，在n趋于无穷时，lim (n→∞) 1^m+2^m+3^m+4^m+……+n^m 成为ζ函数，在解析数论中会接触，那里有另外的方法计算（当然，严格地说这样写已经不规范了，因为这是解析延拓，应当记为ζ(m)，已经不再是求和了）

n!还可以用欧拉积分Γ(n+1)表示，积分的运算比起阶乘要复杂很多。有时候做估算时可以使用。

Answer 2

1*2*3*4*…*99*100
=100！
=9.3326215443944152681699238856267e+157
其中*为乘号，e+157是10的157次幕
这种计算用计算器算不出来，
要用计算机里的计算器算，
得数就是9.3326215443944152681699238856267e+157

另外，n!表示1*2*3....*(n-1)*n，

要是求结果最后有多少个0，方法是：
我们来倒推：
要知道有多少个0，实际就是要知道结果里面有10的多少次方
10=2*5，显然1到n里面，2的个数要远远大于5的个数
实际就是要我们找出结果里面有5得多少次方，其实也就是算算有多少个5了

1）假设最接近n的5的幂数是5的a次方这个自然数（那么接近100的也就是5的2次方=25了，a=2）
2）答案就是a*(n/5的a次方)+(a-1)*(n/5的a次方-n/5的a-1次方)+(a-2)(n/5的a-2次方-n/5的a-1次方-n/5的a次方)+........
那么问题的答案就是：
2*(100/25)+1*(100/5-100/25)=8+16=24个0

1*2*3*......*688的末尾有多少个0？

5*5*5*5=625，但是5的5次方>688了
所以，a=4

答案就是：

4*([688/625])+3*([688/125]-[688/625])+2*([688/25]-[688/125]-[688/625])+1*([688/5]-[688/25]-[688/125]-[688/625])=4*1+3*3+2*23+110=169个0追问

再问一下，1^m+2^m+3^m+4^m+.....n^m为多少呢

Answer 3

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×............×n等于多少呢,请用含n的代数式表示,不胜感激啦,若不能表示,请说明理由
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×............×n=n!

1²+2²+3²+....+N²=n（n+1）(2n+1)/6
所以:1×﹙1-4﹚+2×﹙2-4﹚+3×﹙3-4﹚+4×﹙4-4﹚+5×﹙5-4﹚.....n×﹙n-4﹚
=n（n+1）(2n+1)/6 -4n(n+1)/2
是5就是n（n+1）(2n+1)/6 -5n(n+1)/2
是6就是n（n+1）(2n+1)/6 -6n(n+1)/2
是7就是n（n+1）(2n+1)/6 -7n(n+1)/2
是m就是n（n+1）(2n+1)/6 -mn(n+1)/2

祝你开心！追问

再问一下，1^m+2^m+3^m+4^m+.....n^m为多少呢

追答

不会啊！实在抱歉！

Answer 4

麻烦······
1×2×3×4×······×n=n!
1×（1-4）+2×（2-4）+3×（3-4）+4×（4-4）+······+n×（n-4）
=1²+2²+3²+4²+······+n²-4-8-12-16-······-4n
=(1/6)×[n(n+1)(2n+1)]-4[n(n+1)÷2]
减5就是=(1/6)×[n(n+1)(2n+1)]-5[n(n+1)÷2]
减6就是=(1/6)×[n(n+1)(2n+1)]-6[n(n+1)÷2]
······
减m就是=(1/6)×[n(n+1)(2n+1)]-m[n(n+1)÷2]追问

再问一下，1^m+2^m+3^m+4^m+.....n^m为多少呢

追答

呃，真难啊！
幂的求和公式：{1/[m(m+1)]}×{n(n+1)(2n+1)(3n+1)······[(m-1)n+1]}

Answer 5

第一个，已经是最简，有时简记n!。大学里会学一个Stirling公式来估算n!。

∑k*(k-m)=∑k^2-∑k*m=∑k^2-m*∑k=n*(n+1)*(2*n+1)/6-m*n*(n+1)/2
(以上对k求和，求和指标k=1 .. n)
令m=4即得欲求之代数式。

如果写长一点就是：
1*(1-4)+2*(2-4)+3*(3-4)+4*(4-4)+……+n*(n-4)
=1^2-1*4+2^2-2*4+3^2-3*4+……+n^2-n*4
=1^2+2^2+3^2+……+n^2-4*(1+2+3+……+n)
=n*(n+1)*(2*n+1)/6-4*n*(n+1)/2。
这里用到了公式1^2+2^2+3^2+……+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6