数列的问题，a1=3,an+1=an^2-2,求an

Question

如题所述

Answer 1

这个题目很有意思，以前我有研究过
设a1=t+1/t(这里解出t的值，随便取一个根都行)
带入通项公式a2=(t+1/t)²-2=t²+1/t² 同理 a3=t^4+1/t^4
猜想an=t^[2^(n-1)]+1/t^[2^(n-1)]
下面用数学归纳法证明
令n=k的时候
ak=t^[2^(k-1)]+1/t^[2^(k-1)]
那么n=k+1的时候
ak+1=(ak)²-2=t^[2^k]+1/t^[2^k]
n=1的时候满足方程的，
所以通项公式an=t^[2^(n-1)]+1/t^[2^(n-1)]

另外说一下，这里a1=3 a1=t+1/t存在实数根
如果a1<2这么设就不行了
解出来是复数根，虽然可以转化成三角函数但是比较麻烦
可以直接设a1=2cosθ(θ也可以解出来的)
a2=a1²-2=4cos²θ-2=2cos2θ
a3=a2²-2=4cos²2θ-2=2cos4θ
通项公式就是2cos[2^(n-1)θ]
a1=2的时候问题更简单了，就一直是2本回答被提问者采纳

Answer 2

令a1 =3 =b + 1/b, b= (3+√5)/2, 则a2=(a1)^2 - 2 = b^2 + b^(-2), a3=(a2)^2 - 2 = b^4 + b^(-4),....
所以 a(n) = b^(2^(n-1)) + b(-2^(n-1)), b= (3+√5)/2.