已知数列{an}的前n项和为S,且(a-1)Sn=a(an-1)(a＞0，n∈正整数) 。

Question

(1)求证数列{an}是等比数列，并求an （ 2)已知集合A={x|x^2+a小于等于(a+1)x},问是否存在实数a，使得对于任意的n属于正整数，都有Sn属于A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。 第一问的答案已经解出来了，an=a^n.请亲们解决第二问吧，急求

Answer 1

解：
(1)
令n=1
(a-1)a1=a(a1-1)
解得a1=a
(a-1)Sn=a(an-1)
(a-1)Sn-1=a[a(n-1)-1]
(a-1)an=a[an-a(n-1)]
an=a×a(n-1)
an/a(n-1)=a，为定值。
数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列。通项公式为an=a^n
(2)
x²+a≤(a+1)x
x²-(a+1)x+a≤0
(x-a)(x-1)≤0
分类讨论：
①
a=1时，x=1 数列{an}是各项均为1的常数数列，Sn=n，不满足题意。
②
a>1时，1≤x≤a
Sn=a(a^n-1)/(a-1)
1≤a(a^n-1)/(a-1)≤a
a(a^n-1)/(a-1)≤a a^n-1≤a-1 a^n≤a
a>1 a^n为递增函数 a^n≥a^1=a 不等式a^n≤a无解，舍去。
③
0<a<1时，a≤x≤1
a≤a(1-a^n)/(1-a)≤1
(1-a^n)/(1-a)≥1 1-a^n≥1-a a^n≤a，n为任意正整数。
a(1-a^n)/(1-a)≤1
1-a^n≤(1-a)/a
a^n≥(2a-1)/a
0<a<1，a^n随n增大单调递减，当n->+∞时，a^n>0且趋向于0，要不等式成立，则只有
(2a-1)/a≤0
2a-1≤0
a≤1/2

综上得，存在实数a满足题意，当0<a≤1/2时，对于任意正整数n，恒有Sn∈A。

Answer 2

(1)an=Sn-S(n-1)=a/(a-1)[an-a(n-1)]
a*an-an=a*an-a*a(n-1)
an=a*a(n-1)
(a-1)a1=a(a1-1)
a1=a
所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列
an=a*a^(n-1)=a^n

(2)Sn=a(1-a^n)/(1-a)
x^2+a<=(a+1)x
(x-a)(x-1)<=0
当a>1时，1<=x<=a
1<=a(1-a^n)/(1-a)<=a
a-a^2<=a-a^(n+1)<=1-a
-a^2<=-a^(n+1)<=1-2a
a^(n-1)<=1 对任意的n不全成立
当a=1时，x=1
Sn=n=1 对任意的n不全成立
当0<a<1时，a<=x<=1
a<=a(1-a^n)/(1-a)<=1
a-a^2<=a-a^(n+1)<=1-a
-a^2<=-a^(n+1)<=1-2a
a^(n-1)<=1 对任意的n成立
a^(n+1)>=2a-1 要使对任意的n成立，2a-1<=0 a<=1/2
所以存在实数a，使对任意的n，有Sn∈A，0<a<=1/2

Answer 3

(1)an=Sn-S(n-1)=a/(a-1)[an-a(n-1)]
a*an-an=a*an-a*a(n-1)
an=a*a(n-1)
(a-1)a1=a(a1-1)
a1=a
所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列
an=a*a^(n-1)=a^n
(2)Sn=a(1-a^n)/(1-a)
x^2+a<=(a+1)x
(x-a)(x-1)<=0
当a>1时，1<=x<=a
1<=a(1-a^n)/(1-a)<=a
a-a^2<=a-a^(n+1)<=1-a
-a^2<=-a^(n+1)<=1-2a
a^(n-1)<=1
对任意的n不全成立
当a=1时，x=1
Sn=n=1
对任意的n不全成立
当0<a<1时，a<=x<=1
a<=a(1-a^n)/(1-a)<=1
a-a^2<=a-a^(n+1)<=1-a
-a^2<=-a^(n+1)<=1-2a
a^(n-1)<=1
对任意的n成立
a^(n+1)>=2a-1
要使对任意的n成立，2a-1<=0
a<=1/2
所以存在实数a，使对任意的n，有Sn∈A，0<a<=1/2