b>a>0 证明 b-a/b<lnb/a<b-a/b

Question

( b-a)/b<lnb/a<(b-a/)b

Answer 1

左右两个都是(b-a)/b ? 中间那个是(lnb)/a 还是ln(b/a) ?追问

b-a/b<lnb/a<b-a/a 打错了 是这个

追答

设f(x)=lnx
由拉格朗日中值定理(不知道是不是,高数好久没用了)
存在t∈(a,b),使得f'(t)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(lnb-lna)/(b-a)
又f'(x)=1/x在(0,+∞)单调递减,且a<t<b
所以1/b=f'(b)<f'(t)=(lnb-lna)/(b-a)<f'(a)=1/a
所以(b-a)/b<lnb-lna<(b-a)/a
而lnb-lna=ln(b/a),所以(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a 得证

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