当0<x<2/π时，证明tanx>x+(1/3)X^3

Question

如题所述

Answer 1

证明：

构造函数

F(x)=tanx-x-(1/3)x^3

则F(0)=0

F'(x)=1/(cosx)^2-1-x^2

=1/(cosx)^2-(cosx)^2/(cosx)^2-x^2

=(sinx/cosx)^2-x^2

=(tanx)^x-x^2

=(tanx+x)(tanx-x)

∵ x∈(0,π/2),∴ tanx>x

∴ F'(x)>0

即F(x)在(0,π/2)上是增函数

∴ F(x)>F(0)=0

即 tanx>x+(1/3)x^3

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

扩展资料

对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

Answer 2

第一种解法，tanx=x+x^3/3+2x^5/15+o(x^5)这是泰勒展开式，再移项直接可得所证成立。
第二种解法
当0<x<2/π时，
另使Y=tanx-x-(1/3)X^3证明Y>0
对Y求导得1/(cosx^2)-1-x^2
再求导得-2sinx/(cosx^3)-2x
再继续求导得三阶导
根据三阶导判断二阶导的单调性和其值大于0还是小于0
再根据二阶导数判断一阶导数的单调性
最终得到函数Y的图像性质，证明其最小值大于0，即命题得证。
这样的题就这么两个思路。

Answer 3

证明：
构造函数
F(x)=tanx-x-(1/3)x^3
则F(0)=0
F'(x)=1/(cosx)^2-1-x^2
=1/(cosx)^2-(cosx)^2/(cosx)^2-x^2
=(sinx/cosx)^2-x^2
=(tanx)^x-x^2
=(tanx+x)(tanx-x)
∵ x∈(0,π/2),∴ tanx>x
∴ F'(x)>0
即F(x)在(0,π/2)上是增函数
∴ F(x)>F(0)=0
即 tanx>x+(1/3)x^3本回答被网友采纳

Answer 4