过定点问题

Question

点P与点F(2,0)的距离比他到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C,若直线l与曲线C相交于A,B ,且OA垂直OB,求证直线l过定点,并求出坐标

Answer 1

PF比P到x+4的距离小2，那么就和P到x=-2的距离相等，所以P点的轨迹明显是抛物线y^2=8x
设A坐标为(m^2/8,m)，则OA的斜率为8/m，则OA垂直于OB，OB的斜率为-m/8
所以直线OB的方程为y=-mx/8，它与C的交点(512/m^2, -64/m)即为B（另一交点为O）
所以直线l的方程为(y-m)/(x-m^2/8)=(-64/m-m)/(512/m^2-m^2/8)
化简得(y-m)/(8x-m^2)=m/(m^2-64)
明显该直线过定点(8,0)

Answer 2

由题易知曲线c为抛物线 y2=8x 直线l设为 x=my+t 则联立两式可得 y2-8my-8t=0 设AB坐标分别为（ x1,y1） ，(x2,y2) 由韦达定理可得 y1+y2=8m y1*y2=-8t x1*x2=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2 向量OA=（x1,y1) OB=（x2,y2)
则 oA*OB=x1*x2+y1*y2=0 代入上式 得 t2-8*t=0 即 t=8或0（舍去）
故直线l过定点（8,0）
t2即 t的平方 * 即 乘号