高一数学题（集合）

Question

对任意x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,则称S对加减封闭，S为R的真子集

证明：若S1，S2为R的两个真子集，且对加减封闭，则必存在c∈R，使得c∉S1∪S2.

求详细解答

Answer 1

证明：(1)若对任意x∈S1都有x∈S2，即S1包含于S2，那么S1∪S2=S2为R的真子集，故必存在c∈R使c∉S1∪S2
(2)若S2包含于S1，同理可证存在c∈R使c∉S1∪S2
(3)若上述两种情况都不成立，即存在x∈S1使x∉S2，且存在y∈S2使y∉S1，那么考虑x+y∈R，若它属于S1，则应有y=(x+y)-x属于S1，矛盾！因此它不属于S1。同理它不属于S2，因此x+y∉S1∪S2，得证。

Answer 2

有人证明了

Answer 3

528525234+75252335355555

Answer 4