已知a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立

Question

如题所述

Answer 1

解:1,当a,b,c 都大于等于0时ab+bc+ca>0所以ab+bc+ca+1>0恒成立
2，当a=0 ,b,c 不等于0时 ab+bc+ca+1=bc+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以bc绝对值小于1 即bc小于-1或大于0小于1 所以bc+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
3，当b=0，a,c不等于0时 ab+bc+ca+1=ca+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以bc绝对值小于1 即ca小于-1或大于0小于1 所以ca+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
4，当c=0，a,b不等于0时 ab+bc+ca+1=ab+1 因为a,b,c 的绝对值都小于1所以ab绝对值小于1 即ca小于-1或大于0小于1 所以ab+1大于0 ab+bc+ca+1>0恒成立
5，当a,b,c=0时ab+bc+ca+1=1所以ab+bc+ca+1>0恒成立
6，当a,b,c 小于0时ab，bc，ca>0所以ab+bc+ca+1>0恒成立
7，当a>0，b,c 小于0时bc>0，ab＜0，ca＜0
已知a,b,c 的绝对值都小于1，ab+ca＜1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
8，当b>0，a,c 小于0时ca>0，ab＜0，bc＜0
已知a,b,c 的绝对值都小于1，ab+bc＜1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
9，当c >0，a,b 小于0时ab>0，ca＜0，bc＜0
已知a,b,c 的绝对值都小于1，ca+bc＜1
所以ab+bc+ca+1>0恒成立
所以当a,b,c 的绝对值都小于1,证明ab+bc+ca+1>0恒成立

Answer 2

依题意 ，可知a，b，c都属于（-1,1）
设f（a）=a(b+c)+bc+1
（易得 f（a）为一次函数，只要f（1）> 0且f（-1）>0即可证出）
f（1）=b+c+bc+1=c（b+1）+b+1=（b+1）（c+1）>0；
f（-1）=-b-c+bc+1=c（b-1）-b+1=（b-1）（c-1）>0；

所以f（a）在（1,1）上恒大于0
即ab+bc+ca+1>0
（典型的构造函数）