求1/(tanx+1)的不定积分 请看清详细描述

Question

方法一:把dx/(1+tanx)化成cosxdx/(cosx+sinx)=d(sinx)/根号2*sin(x+派/4)
=（1/根号2）d(sin(x+派/4))/sin(x+派/4)=（1/根号2）*
ln(sin(x+派/4))+c
方法二:2∫dx/(1+tanx)
=∫2cosxdx/(sinx+cosx)
=∫[(cosx+sinx)+(cosx-sinx)]dx/(cosx+sinx)
=∫1*dx+∫(cosx-sinx)dx/(sinx+cosx)]
=x+∫d(sinx+cosx)/(sinx+cosx)
=x+ln(sinx+cosx)+C'
所以∫dx/(1+tanx)=x/2+(1/2)ln(sinx+cosx)+C.
我知道二肯定对，但一为什么不对呢？求高人解答

Answer 1

dsin(x+π/4) = cos(x+π/4) * (x+π/4)' = cos(x+π/4) dx
dsinx = cosx dx
∵cos(x+π/4) dx ≠ cosx dx
∴ dsin(x+π/4) ≠ dsinx

还有就是
只能cos(x+π/4) d(x+π/4) = dsin(x+π/4)，前提是cos裏的跟d裏的函数要相同，否则不能用凑微分
这个做法：cosx dx = dsinx = dsin(x+π/4)显然是错误的
dsinx = d(sinx + π/4)这个就正确
总结来说：
在d中的函数裏不能任意加个常数，即df(x) ≠ df(x+C)
只能在函数外加一个常数，即df(x) = d[f(x)+C]这个才对

Answer 2

sin(x+派/4)的导数和sinx的导数不同，所以：dsinx到d(sin(x+派/4)这一步转化错了。